hilfe zu extremwertaufgaben

02.05.2004, 18:47

Llora

hilfe zu extremwertaufgaben

Ich brauche gaaanz dringend und schnell Hilfe zu folgenden extremwertaufgaben!
Fasst euch ein Herz und löst wenigstens eine, nur nicht alle die gleiche Augenzwinkern

!
es ist wirklich wichtig, ich hab keinen plan und ich schreib morgen mathe!

Also:

Bei der Herstellung von giebelfenstern im dachgeschoss ist eine glasplatte in form eines rechtwinkligen dreiecks mit der kathetenlänge 80 cm und 120 cm übrig geblieben.
Bestimme das rechteck mit dem maximalen flächeninhalt, das sich aus dem dreieck ausschneiden lässt.

Die aufführung eines jugendtheaters haben bei einem eintrittspreis von 8 euro durchschnittlich 200 besucher. eine umfrage ergibt, dass eine preisermäßigungum 1 euro (bzw. um 2 euro, 3 euro...9 die zuscheuerzahl um 20 (bzw. um 40, 60...) ansteigen lassen würde. bestimme den eintrittspreis, der die maximale einnahme ergibt.

und hier noch eine, da steht so ein komisches bild neben, dass das in einem koordinatensystem gemacht wird!

Für welchen punkt P der Geraden g mit der gleichung y= - 6/3x + 4 hat das rechteck OAPB den größten flächeninhalt? gib auch den maximalen flächeninhalt an

anleitung: Nutze aus, dass die koordinaten des punktes p (x/y) die gleichung g erfüllt!

Also wär echt nett wenn ihr mir helfen könntet!!

02.05.2004, 18:50

johko

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Ab in die Analysis! Wink

johko

02.05.2004, 18:51

Llora

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eins noch
bitte gebt den lösungsweg an!

02.05.2004, 18:57

johko

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Erst mal ne Skizze, damit wir uns auf Bezeichnungen einigen.
Die ZIELFUNKTION beschreibt das, was du erreichen willst:
A = ....
Die NEBENBEDINGUNG liefert dir eine Beziehungzwischen den unbekannten. Bei einem Dreieck riecht das fast immer nach Pythagoras und/oder Strahlensatz.

02.05.2004, 20:18

Llora

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also, da muss doch irgendwas sein mit 120-b * 80-a = Flächeninhalt dieses rechtsecks, oder? also satz des pythagoras sagt mir nix, hat das was mit parabeln und quadratischen funktionen zu tun?

02.05.2004, 20:21

Llora

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ne quatsch gar nicht, das wären ja diese übrig gebliebenen dreiecke, der flächeninhalt von dem dreieck ist doch schonmal 4800cm²

02.05.2004, 20:22

johko

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Für mich gilt beim Rechteck: A = a*b
Der Pythagoras fällt hier flach, also bleibt nur noch das andere Moonster, das mir eine Beziehung zwischen a und b liefert.

johko

02.05.2004, 20:40

Mathespezialschüler

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Hi johko,
wie du vielleicht weißt, bin ich 10.Klasse. Ich hab also noch nie was mit Extremalproblemen, Integralrechnung oder Ähnlichem zu tun gehabt oder irgendwas davon gehört. Ich hab mir mal deine Zeichnung angeguckt und dann versucht, das zu lösen. Ich wollt nur mal sehen, ob ich es auch schon kann. Da Llora ja selbst den Lösungsweg herleiten soll, möcht ich nur fragen, ob meine Ergebnisse richtig sind. Ich hab folgendes raus:

$\begin{align*} a = \frac{80}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} b = 40 \end{align*}$

$\begin{align*} A = \frac{3200}{3} \end{align*}$

Wenn das so richtig wäre, würde es mich sehr freuen.

02.05.2004, 21:01

johko

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@ MSS:
b ist klar :], a nicht unglücklich

allgemein kommen für die Lösung immer die halben Längen der Seiten raus. Kannste ja mal mit L und B nachrechnen.
johko

02.05.2004, 21:09

Llora

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also, wenn ich hab wirklich keinen plan...

ich hab mal versucht das ohne quadratische funktion zu machen sondern mit messen und da kommt bei mir raus das b ungefähr 40cm und a ungefähr 60cm sein muss, damit ich einen flächeninhalt von 2400 cm² erhalte, einen größeren finde ich nicht...

wenn das richtig sein sollte, kann mir dann vielleicht jemand sagen wie ich das mit ner quadratischen funktion rausbekommen soll?

02.05.2004, 21:24

johko

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40 und 60 sind schon okay. Aber du musst mittels Strahlensatz das kleine Dreieck oben mit dem Gesamtdreieck vergleichen, um ordentlich vorzugehen...

02.05.2004, 23:33

Mathespezialschüler

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Also, ich habs nicht mit Strahlensatz gemacht, sondern so:

$\begin{align*} A\ =\ a\ \cdot \ b \end{align*}$

In der Skizze habe ich die waagerechte Kathete als x-Achse und die senkrechte als y-Achse eines Koordinatensystems bezeichnet. Dann stellt die Hypotenuse eine lineare Funktion dar, für die folgendes gilt:

Der Anstieg ist $\begin{align*} \frac{-80}{120}\ =\ \frac{-2}{3} \end{align*}$ , da man um 120 Einheiten nach rechts und um 80 Einheiten nach unten geht. Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei 80. Also:

$\begin{align*} y\ =\ -\frac{2}{3}x\ +\ 80 \end{align*}$

Für y kann man b einsetzen, für x a:

$\begin{align*} b\ =\ -\frac{2}{3}a\ +\ 80 \end{align*}$

Für b hat man den rechten Term, der nur die Variable a enthält. Eingesetzt in die Flächeninhaltsformel für das Rechteck ergibt das:

$\begin{align*} A\ =\ a\ \cdot \ (-\frac{2}{3}a\ +\ 80) \end{align*}$

$\begin{align*} A\ =\ -\frac{2}{3}a^2\ +\ 80a \end{align*}$

Das kann man auch als eine Funktion ansehen. Dabei ist in einem Koordinatensystem die y-Achse der Flächeninhalt und die x-Achse die Länge der Seite a des Rechtecks. Außerdem ist es eine Parabel mit Öffnung nach unten. Also ist der Scheitelpunkt der Punkt, wo die y-Koordinate, also der Flächeninhalt, am größten ist. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist dann die eine Seitenlänge a des gesuchten Rechtecks. Ich hab mal gelesen, dass man mit Ableiten den Scheitelpunkt feststellen kann. Da ich das aber nicht kann, habe ich mir etwas anderes überlegt, um den Scheitelpunkt zu bekommen. Ich berechne erstmal die Nullstellen der Parabel

$\begin{align*} A\ =\ -\frac{2}{3}a^2\ +\ 80a \end{align*}$

Dafür setze ich A (die y-Koordinate) gleich 0 und forme die rechte Seite um.

$\begin{align*} 0\ =\ a^2\ +\ -\frac{2}{3}\ \cdot \ 80a \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ a^2\ -\ 120a \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ a\ (a\ -\ 120) \end{align*}$

$\begin{align*} a_1\ =\ 0 \end{align*}$

$\begin{align*} a_2\ =\ 120 \end{align*}$

(Das hätte man natürlich auch aus der Skizze von johko schlussfolgern können, denn der Flächeninhalt wird genau dann 0, wenn a oder b 0 ist. Bei b = 0 ist dann nach der Zeichnung a = 120.)

Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist genau in der Mitte der Nullstellen (Eigenschaft einer Parabel (wenn denn Parabeln nur Polynome 2.ten Grades sind)). Also den Mittelwert der Nullstellen bilden. Das ergibt dann die Länge der Rechtecksseite a:

$\begin{align*} a\ =\ \frac{a_1\ +\ a_2}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} a\ =\ \frac{0\ +\ 120}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} a\ =\ 60 \end{align*}$

Damit haben wir jetzt eine Seitenlänge des Rechtecks.
Jetzt kann man a in

$\begin{align*} b\ =\ -\frac{2}{3}a\ +\ 80 \end{align*}$

einsetzen, um b rauszubekommen und dann mit

$\begin{align*} A\ =\ a\ \cdot \ b \end{align*}$

den Flächeninhalt ausrechnen.

Oder man setzt a in

$\begin{align*} A\ =\ -\frac{2}{3}a^2\ +\ 80a \end{align*}$

ein, um den Flächeninhalt zu bekommen und setzt dann in die Gleichung

$\begin{align*} A\ =\ a\ \cdot \ b \end{align*}$

$\begin{align*} b\ =\ \frac{A}{a} \end{align*}$

A und a ein.
Ich nehm jetzt mal die erste Möglichkeit:

$\begin{align*} b\ =\ -\frac{2}{3}a\ +\ 80 \end{align*}$

$\begin{align*} b\ =\ -\frac{2}{3}\ \cdot \ 60\ +\ 80 \end{align*}$

$\begin{align*} b\ =\ 40 \end{align*}$

$\begin{align*} A\ =\ a\ \cdot \ b \end{align*}$

$\begin{align*} A\ =\ 60\ \cdot \ 40 \end{align*}$

$\begin{align*} A\ =\ 2400 \end{align*}$

Das wär dann mein Lösungsweg. Mit Strahlensatz kommt man natürlich aufs gleiche Ergebnis.

PS: Bei meiner ersten Lösung hatte ich in der Rechnung einen kleinen Fehler eingabaut. Ich hatte mir die Zeichnung nicht genau angeguckt und hatte als Anstieg $\begin{align*} -\frac{3}{2} \end{align*}$ anstelle von $\begin{align*} -\frac{2}{3} \end{align*}$ ermittelt. War natürlich n dummer Fehler.

16.06.2004, 19:38

Adelinchen

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RE: hilfe zu extremwertaufgaben
Ich hoffe deine Klausur war ok. Ich wollte dir nur sagen, dass die Aufgabe viel zu kompliziert erklaert wurde , das geht wesentlich einfacher. Glaub mir.
Naja. toi Toi TOI

16.06.2004, 19:56

Mathespezialschüler

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RE: hilfe zu extremwertaufgaben

Zitat:

Original von Adelinchen
Ich hoffe deine Klausur war ok. Ich wollte dir nur sagen, dass die Aufgabe viel zu kompliziert erklaert wurde , das geht wesentlich einfacher. Glaub mir.
Naja. toi Toi TOI

Dann zeig uns doch, wie es einfacher geht!

17.06.2004, 00:05

Ben Sisko

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RE: hilfe zu extremwertaufgaben

Zitat:

Original von Adelinchen
toi Toi TOI

Ausserdem ist´s dafür wohl etwas spät... verwirrt

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