Ein paar allgemeine Fragen

02.06.2008, 18:29

mathe760

Ein paar allgemeine Fragen

Hallo,

ich würde gerne wissen wie man einen Punkt oder sonst irgend ein geometrisches "Objekt" projiziert?
Zum Beispiel be zweii Aufgaben:

1. Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ ein Rechteck mit $\begin{eqnarray*} |AD| \leq |AB| \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} AD \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ . Der Punkt $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sei die Projektion von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf die Gerade $\begin{eqnarray*} CM \end{eqnarray*}$ .
(a) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} ANEM \end{eqnarray*}$ ein gleichschenkliges Trapez ist.
(b) Zeige, dass die Fläche des Vierecs $\begin{eqnarray*} ABNE \end{eqnarray*}$ halb so gross ist, wie die Fläche von $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ .

4. Aufgabe
Sei $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ein Dreieck mit $\begin{eqnarray*} \angle BAC = 60° \end{eqnarray*}$ . Finde alle Punkte $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ im Innern dieses Dreiecks mit folgender Eigenschaft:
Ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die Projektion von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf die Gerade $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Projektion von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} CA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Projektion von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \angle EDF = 30° \end{eqnarray*}$ .

Ausserdem würde ich gerne wissen ob der Am das arithmetrische Mittel ist, GM das geometrische Mittel ist, was QS, CS und HM für Mittel sind bzw. wie man sie anwendet.

Bis denn mathe760 Wink

02.06.2008, 18:32

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Geimeint ist in all diesen angeführten Fällen der Lotfußpunkt auf die Gerade/Strecke/Ebene ...

Zitat:

Original von mathe760
Ausserdem würde ich gerne wissen ob der Am das arithmetrische Mittel ist, GM das geometrische Mittel ist

Meistens ja - aber das sollte doch dann auch aus dem Kontext hervorgehen, in dem dies benutzt wird. HM steht wahrscheinlich für das harmonische Mittel.

Bei QS (nicht QM?) fällt mir nix ein. CS könnte die Cauchy-Schwarz-Ungleichung bedeuten. Aber wie gesagt, das sollte dann auch aus dem Kontext der Verwendung hervorgehen!

02.06.2008, 18:47

Atan

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Vielleicht könnte QS die Quersumme sein.

03.06.2008, 16:28

mathe760

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@Arthur Dent:

Guck doch mal hier: Ich üb mal wieder für die Olympiade , vielleicht kannst du dich ja 3 Jahre zurück erinnern Big Laugh

In diesem Kontext meine ich es.
Ist dann eine Projektion immer eine senkrechte Projektion mit Lotfußpunkt?

Bis denn mathe760 Wink

07.07.2008, 17:54

mathe760

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Zitat:

Original von Steve_FL
Die Ungleichung zwischen HM - GM - AM - QM ist mir zwar bekannt, aber bei der Anwendung scheiterts dann doch etwas.
Bei diesem Beispiel hab ich den Lösungswegs verstanden, doch ich wäre nicht selbst drauf gekommen:

Für $\begin{eqnarray*} x_1, \ldots , x_n > 0 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \ldots + \frac{x_n}{x_1} \geq n \end{eqnarray*}$ .

Die Lösung sieht nun so aus: Man dividiert durch n und erhält dann
$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \ldots + \frac{x_n}{x_1} }{n} \geq 1 \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} 1 = \sqrt[n]{\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_3} \cdots \frac{x_n}{x_1} } \end{eqnarray*}$ .

Das war nur eines der Beispiele. Ein weiteres ist folgendes, bei dem ich die Lösung mit diesen Mitteln nicht kenne. Diese Ungleichung habe ich allerdings mit zwei anderen Methoden gelöst. Zum Einen mit dem Hauptsatz und zum anderen einfach durch Bildung einer Summe aus Quadraten, die alle positiv sind:

Seien a, b, c, positiv. Zeige:
$\begin{eqnarray*} \frac{a + b + c}{abc} \leq \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \end{eqnarray*}$

Auf meine beiden Lösungen möchte ich nicht eingehen, das ist ja irrelevant. Ich wäre froh, wenn mir jemand zeigen könnte oder tipps geben könnte, wie ich da auf eine Lösung mit den 4 (besser mit 2 davon) Mitteln komme.

Ähnlich verhält es sich bei mir mit der Ungleichung von Cauchy-Schwarz.
Ich verstehe zwar die Theorie, konnte sie aber noch nicht anwenden. Ich finde da einfach keine zwei "passenden Vektoren".

Dieses Beispiel wurde an dem letzten Treffen behandelt, aber entweder hab ich vergessen die Lösung aufzuschreiben oder ich hab sie verloren.

1. Für $\begin{eqnarray*} x, y, z, > 0 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{y + z} + \frac{y^2}{z + x} + \frac{z^2}{x + y} \geq \frac{x + y + z}{2} \end{eqnarray*}$

Ich kann hier keinen CS erkennen und bei der nächsten Aufgabe auch nicht wirklich.

2. Sei $\begin{eqnarray*} a, b, c, d \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \geq \frac{64}{a + b + c + d} \end{eqnarray*}$

Kennt jemand etwas einfachere Übungsaufgaben zu Cauchy-Schwarz? Einfacher als so IMO-Aufgaben, damit ich mich mal etwas mit der Anwendung selbst üben kann, bevor ich solche Aufgaben versuche.

Oder weiss jemand, wie man eine solche Ungleichung am besten "lernt"?

Hier noch die letzte, die ich nicht verstehe. Den Hauptsatz kann ich anwenden, doch wenn ich Chebychef (oder wie man den auch scheribt Augenzwinkern

) benutzen soll, weiss ich nicht recht wie. In meinem Skript ist folgendes Beispiel mit Lösung angegeben:

Seien $\begin{eqnarray*} a, b, c > 0 \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$ .

Lösung: Man verwendet Chebychef mit zweimal derselben Folge $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \geq \frac{1}{3} \cdot (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})^2 \end{eqnarray*}$ .

Mit AM-GM folgt ausserdem
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3 \end{eqnarray*}$ , dies ergibt die Behauptung.

Ich würde jetzt auch gerne lernen mit den verschiedenen Ungleichungs Typen umzugehen. Hat jemand ein paar gute Links/Bücher/Skripts für mich?

Bis denn mathe760 Wink

07.07.2008, 19:08

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Es sind nur die paar Ungleichungen zu kennen, die du hier schon aufgezählt hast. Entscheidend ist der geschickte Einsatz dieser Ungleichungen, und da helfen m.E. nur Beispiele, Beispiele, Beispiele ... Eine Menge davon sind z.B. hier zu finden:

http://www.mathlinks.ro/Forum/index.php?f=32

08.07.2008, 17:57

mathe760

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Vielen Dank ich werde es mir bald angucken.
Das man nicht so gut Englisch kann ist da egal oder was?

Bis denn mathe760 Wink

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