Abbildungsmatrix für die Reflexion an der Hyperebene?

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02.05.2004, 20:22	cybercat	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix für die Reflexion an der Hyperebene? Hallo, da ihr mir schon einmal gut geholfen habt, versuche ich es mal wieder . Hier erst mal die Aufgabe: Man gebe eine Abbildungsmatrix für die Reflexion an der Hyperebene mit folgender Normale an: a) $\begin{align} v=$1,...,1$^T\in \calR^n \end{align}$ b) $\begin{align} v=$2,1,-1$^T\in \calR^3 \end{align}$ Reflexion haben wir so definiert: Sei $\begin{align} v\in \calR ^n\{ohne 0\} \end{align}$ und sei $\begin{align} H(v)= \{x \in \calR ^n:<v,x>=0\} \end{align}$ . Die Abbildung $\begin{align} Ref(index v)=x-2\cdot \frac{<v,x>} {\|\|v\|\|^2}v \end{align}$ heißt Reflexion von x an der Ebene H(v). So, nun habe ich ja die Normalen gegeben, welche in meiner obigen Formel dem v entsprechen, oder? Allerdings fehlt mir ja das x, also der Punkt der gespiegelt werden soll, d.h. wir sollen bestimmt für ein beliebiges x eine Abbildungsmatrix angeben? Könnte mir jemand einen kleinen Tipp geben, wie ich das bewerkstellige ? Danke schön!
02.05.2004, 22:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze doch einfach das konkret gegebene v in die Reflexionsformel ein. Schreibe x in den Koordinaten x1,...,xn und rechne aus. Du erhältst einen Vektor, der in den Koordinaten Linearformen in x1,...,xn enthält. Jetzt mußt du versuchen, eine Matrix A zu finden, so daß A·x diesen Vektor ergibt.
03.05.2004, 10:15	cybercat	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann hab ich jetzt folgendes raus: $\begin{align} Ref_v=$\array{\frac{2}{3}x_1\\ \frac{2}{3}x_2\\ -\frac{4}{3}x_3$ \end{align}$ Jetzt müsste ich also $\begin{align} A\cdot Ref_v=v \end{align}$ rechnen, ja? Ich habe also: $\begin{align} A\cdot $\array{\frac{2}{3}x_1\\ \frac{2}{3}x_2\\ -\frac{4}{3}x_3$=$\array{2\\1\\-1}$ \end{align}$ Da bleib ich im Moment stecken. Irgendwie lösst man das bestimmt als Gleichungssystem mit Gauss oder so, aber weiss jetzt nicht, wie ich das machen soll .
03.05.2004, 11:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Reflexion Einmal unterstellt, du hast richtig gerechnet (ich rechne das jetzt nicht nach), wäre die Lösung $\begin{align} A \ =\ $\array{\frac{2}{3} &0&0\\0&\frac{2}{3} &0\\0&0&-\frac{4}{3} }$ \end{align}$ denn es gilt: $\begin{align} $\array{\frac{2}{3} &0&0\\0&\frac{2}{3} &0\\0&0&-\frac{4}{3} }$ $\array{x_1\\x_2\\x_3}$ \ =\ $\array{\frac{2}{3} x_1\\\frac{2}{3} x_2\\-\frac{4}{3} x_3}$ \end{align}$ Ich habe einfach ein bißchen kombiniert und probiert.
03.05.2004, 16:13	cybercat	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir! Also ich habe noch mal nachgerechnet und meine angegebene Lösung ist wohl falsch, richtig kommt raus (hoffe ich): $\begin{align} Ref_v=$\array{-\frac{1}{3}x_1+\frac{2}{3}x_2-\frac{2}{3}x_3\\ \frac{2}{3}x_1+\frac{2}{3}x_2-\frac{1}{3}x_3 \\ -\frac{2}{3}x_1-\frac{1}{3}x_2+\frac{2}{3}x_3}$ \end{align}$ also 3 Zeilen und 1(!) Spalte. Ich habe gerade in meinem Hefter gefunden, dass $\begin{align} Ref_v=...=Ax \end{align}$ ist. Also müsste die Matrix dann so aussehen?: $\begin{align} $\array{{-\frac{1}{3}x_1+\frac{2}{3}x_2-\frac{2}{3}x_3&0&0\\0&\frac{2}{3}x_1+\frac{2}{3}x_2-\frac{1}{3}x_3&0\\0&0&-\frac{2}{3}x_1-\frac{1}{3}x_2+\frac{2}{3}x_3}$ \cdot $\array{x_1\\x_2\\x_3}$ =$\array{2\\1\\-1}$ \end{align}$ Ich glaube da ist bestimmt noch was falsch, oder kann man das so machen?
03.05.2004, 16:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Reflexionen Ich glaube, du hast das noch nicht so richtig verstanden. Weißt du, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert? Wenn ja, dann multipliziere einfach einmal dein Ergebnis aus. Du wirst sehen, daß da nie der Vektor rechts herauskommt. Er soll ja auch gar nicht herauskommen! In deiner Matrix dürfen keine x drin sein! Die Matrix multipliziert mit dem Vektor x, da sollte dein Ref-Vektor herauskommen. So herum muß es sein.
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03.05.2004, 17:40	cybercat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich weiss, dass es so auf keinen Fall sein kann und dass in der Matrix keine Variablen drin sein dürfen. Dann hab ich Deinen zweiten Beitrag falsch verstanden, es muss also heißen: $\begin{align} A\cdot v=Ref_v \end{align}$ Mein v ist ja v=(2,1,-1)^T und mein Ref_v hab ich ja auch raus (für Aufgabe b). Wenn ich es so mache wäre es dann ok?: $\begin{align} A=$\array{-\frac{1}{6} &\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{3}& -\frac{2}{3}}$ \end{align}$ $\begin{align} v=$\array{2x_1\\1x_2\\-1x_3}$ \end{align}$ Ich habe also die Variablen bei meinem Vektor angefügt, weil ich nicht weiss, wie ich sonst meine Variablen einbringen soll. Wenn ich nun A*v rechne, dann komme ich auf mein gewünschtes Ref_v, welches ich in meinem letzten Beitrag schon genannt hatte. Das ist doch ok so ,oder?
03.05.2004, 17:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar Minuten Geduld. Ich rechne alles einmal nach.
03.05.2004, 18:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe in der ersten, zweiten und dritten Zeile deines Ergebnisvektors jeweils bei zwei Summanden andere Vorzeichen als du. Bei der Aufgabe geht es doch darum, eine Abbildung von einer vorgegebenen Darstellung in eine andere umzurechnen. Eigentlich müßte es doch heißen $\begin{align} Ref_v(x) \end{align}$ , wobei x bei b) ein 3-elementiger Vektor ist. Jetzt hast du doch vorerst nur nach der angegebenen Formel diesen Vektor - ich nenne ihn einmal x' - ausgerechnet (mit Fehlern, siehe oben). Und diesen Vektor x' sollst du jetzt in der Form x'=A·x mit einer 3reihigen Matrix A schreiben. Bei einer linearen Abbildung erhält man die Abbildungsmatrix aber immer folgendermaßen: die erste Spalte der Matrix ist der Bildvektor von e1=(1,0,0), die zweite Spalte der Matrix ist der Bildvektor von e2=(0,1,0), die dritte Spalte der Matrix ist der Bildvektor von e3=(0,0,1). Jetzt setze also im (richtig berechneten) x' ein: x1=1, x2=0, x3=0 - und das gibt die erste Spalte deiner Matrix A. Und so geht's weiter mit den anderen Spalten. Und wenn du am Schluß die Probe machst, sollte $\begin{align} Ax \ =\ x' \ =\ Ref_v(x) \end{align}$ sein.
03.05.2004, 18:41	cybercat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah so ist das . Habs noch mal nachgerechnet und denke ich mal die Fehler gefunden und weiss auch, was ich da falsch gerechnet habe :-). Dann war es ja gar nicht so schwer, wie ich dachte. Vielen Dank Leopold, warst mir ne große Hilfe! 8) :]

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