Rätsel

03.06.2008, 21:29

voko2506

Rätsel

Hallo habe folgendes Problem:
Es sei eine senkrechte Wand, an der eine Leiter anlehnt, die eine Länge von 7m hat. In der unteren Ecke liegt ein Quadrat mit einer Kantenlänge von 1m. Die Frage ist nun, wie lang ist die Wand, bzw. welche Höhe wird erreicht?
Vielen Dank im vorraus für eure Antworten.
Ich habe versucht über Höhensatz und Strahlensatz an die Sache ranzugehen komme allerdings zu keinem richtigen Ergebnis. Ich hab ein Höhe von 3,566m raus.

Kein Rätsel, daher verschoben

03.06.2008, 21:52

f(x)

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Hallo!

Ich würde mir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras einfach ein paar Gleichungen zusammenstellen und diese dann auflösen.

Gruß Jan

03.06.2008, 21:56

voko2506

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hab ich auch gemacht, du bekommst die eine diagonale in dem quadrat raus, diese beträgt "wurzel 2", allerdings komm ich danach nicht mehr weiter.

03.06.2008, 22:07

f(x)

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h: Wandstück von Quadrat bis Leiterspitze
k: Abstand v. Fußpunkt der Leiter zu Quadrat
a: Leiterstück von Boden bis zum Berührpunkt mit dem Quadrat
b: Leiterstück vom Berührpunkt bis zur Wand

Es gilt:
I: a+b=7
II: 7^2=(1+k)^2+(1+h)^2
III: a^2=1^2+k^2
IV: b^2=1^2+h^2

Diese Gleichungen kann man dann nach h,k,a,b auflösen.
h+1 ist dann die Höhe der Wand.

04.06.2008, 01:29

Alex-Peter

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RE: Rätsel
Wie du der Skizze entnehmen kannst.

1.) Y : 1 = 1 : x

2.) (Y+1)^2 + (1+x)^2 = 7^2 Pythagoras-Satz

2-Gleichungen und 2 Unbekannte.

04.06.2008, 09:21

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Ja, alle Jahre wieder, die Leiter über dem Quadrat.

Die algebraische Kurzfassung (mit den Bezeichnungen von Alex-Peter):

Die entstehende Gleichung vierten Grades $\begin{eqnarray*} (y+1)^2 + \left(1+\frac{1}{y}\right)^2 = 7^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kann mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z=y+\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$ in eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ überführt werden, womit die Aufgabe auch mit "normalen" Schulkenntnissen knackbar ist. Augenzwinkern

04.06.2008, 11:32

voko2506

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D.h. wenn ich die Klammern auflöse und ausrechne, kommt
$\begin{eqnarray*} y^2 + 2y + 1 + 1 +\frac{2}{y} + \frac{1}{y^2} = 7^2 \end{eqnarray*}$
raus.
Muss ich danach dann den Hauptnenner bilden, oder wie soll das mit der Substitution dann von statten gehen?

04.06.2008, 11:41

voko2506

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Habe grad nochmal probiert und habe denke ich die richtige Substitution hinbekommen.
$\begin{eqnarray*} z^2+2z-49=0 \end{eqnarray*}$
Danach folgt dann pq-Formel.
Als Ergebnis bekomme ich raus:
$\begin{eqnarray*} z=-1 \pm \sqrt{50} \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun eine Rücksubstitution durchführe komme ich zu dem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} -1+\sqrt{50}=y+ \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$
Allerdings steh ich im Moment auf dem Schlauch wie ich nach y hin auflösen soll.

04.06.2008, 12:19

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Zitat:

Original von voko2506
Wenn ich nun eine Rücksubstitution durchführe komme ich zu dem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} -1+\sqrt{50}=y+ \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

Bisher alles richtig. Freude

Und wenn du diese Gleichung jetzt mit $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ multiplizierst, hast du erneut eine quadratische Gleichung zu lösen - diesmal für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

04.06.2008, 12:47

voko2506

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Also wenn ich die Multiplikation durchführe und sortiere, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} y^2+y(1-\sqrt{50} )+1=0 \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt die pq-Formel anwende:
$\begin{eqnarray*} y=-\frac{(1-\sqrt{50})}{2} \pm \sqrt{(-\frac{(1-\sqrt{50})}{2})^2-1} \end{eqnarray*}$
erhalte ich als Ergebnis 5,9016m und daraus eine Gesamt-Wandhöhe von 6,9016m.

Damit ist die Aufgabe gelöst.
Danke für die Antworten

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