Wer kann's?

22.02.2006, 16:49

mario22

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Wer kann's?

Wettbewerb, wer kann diese Aufgaben lösen? Beim Mathewettbewerb haben wir (9. Klässler!!!) das natürlich nicht gekonnt.

1) In einen gegebenen Kegel mit dem Radius R und der gegebenen Höhe H soll der Zylinder einbeschrieben werden, der a) den größten Rauminhalt, b) die größte Oberfläche, c) die größte Mantelfläche hat.

2) In eine Halbkugel soll ein Zylinder einbeschrieben werden, der den größten Rauminhalt hat. Der gegebene Radius der Halbkugel sei R.

Versucht euer Glück

22.02.2006, 16:50

JochenX

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RE: Wer kann's?

Zitat:

Original von mario22
Wettbewerb, wer kann diese Aufgaben lösen? Beim Mathewettbewerb haben wir (9. Klässler!!!) das natürlich nicht gekonnt.

Wettbewerb von wann? wenn der noch läuft, dann macht die Aufgaben bitte selbst, hier dürfen wir euch dann nicht helfen.....

Gruß, Jochen

(auch wenns nicht schwer ist)

22.02.2006, 17:00

mario22

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Hey ne!Das war schon vorgestern und ich habe die Aufgaben heute vom lehrer bekommen - wollte die mal ins I- net stellen. Haste Lust das zu versuchen; ich hatte das ja sowieso nicht in der Schule- kam aber beim dem Test dran, an dem versch. Stufen teilnahmen; meine lehrerin hat mir schon gesagt, dass ich das nicht konnte.

22.02.2006, 17:09

mYthos

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Siehe den (ellenlangen) Thread von röschen:

dort

22.02.2006, 17:23

Mario22

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Ja, das habe ich schon gesehen; die rechenen die Aufgabe anscheinend nach vom Wettbewerb. Aber da steig ich nicht durch, wer kann mir das in einem Zusammenhang vorrechnen???

22.02.2006, 17:26

mario22

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Das ist doch auch nur die erste nur Aufgabe, die dort gerade berechnet wird.!!!

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22.02.2006, 17:27

JochenX

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och nein, bitte nicht, der andere Thread war (dank röschens Stil) stressig genug; warum also willst du das anders erklärt haben?

so wie Klarsoweit (und am Anfang ich) es erklärt haben, so geht man das an.......

also wüsste ich nicht, warum wir das ganze hier noch mal genauso aufrollen sollten....

edit: und das es bislang nur die erste ist, liegt vielleicht an "der Reihe nach lösen"?

22.02.2006, 17:32

Mario22

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dann schreibt hier bitte wenigstens die restlichen Schritte ab der Nullstellenberechnung hin, den rest muss ich mir zusammensuchen, außerdem ist die zweite Aufgabe noch gar nicht bearbeitet

22.02.2006, 17:51

Leopold

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Mir ist das gar nicht klar, wie das in der 9. Klasse gehen soll. Kennt ihr denn schon Funktionen außer den quadratischen und linearen? Kennt ihr überhaupt die Formeln für die Volumen für Zylinder, Kegel, Kugel usw.?

22.02.2006, 18:25

JochenX

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Zitat:

Original von mario22
Hey ne!Das war schon vorgestern und ich habe die Aufgaben heute vom lehrer bekommen - wollte die mal ins I- net stellen. Haste Lust das zu versuchen; ich hatte das ja sowieso nicht in der Schule- kam aber beim dem Test dran, an dem versch. Stufen teilnahmen; meine lehrerin hat mir schon gesagt, dass ich das nicht konnte.

hallo Leopold,

das sollte deine Frage beantworten.
Viel interessanter wäre dabei die Frage, was sich die Lehrerin davon erhofft, ihren Schülern diese Aufgabe überhaupt zu geben.....

mfg Jochen

22.02.2006, 18:55

Mario22

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Danke für eure hilfe, ich werde euch bestimmt nicht weiterempfehlen!

22.02.2006, 18:58

20_Cent

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ich bin der meinung, dass du, wenn du schon solche aufgaben lösen willst, lange bevor du lernst, wie man das macht, wenigstens ein bisschen selber denken solltest.
mfG 20

22.02.2006, 19:30

Leopold

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Dann gebe ich hier eine Lösung ohne Differentialrechnung.

Sind $\begin{eqnarray*} R,H \end{eqnarray*}$ Radius und Höhe des Kegels und $\begin{eqnarray*} r,h \end{eqnarray*}$ Radius und Höhe des Zylinders, so gilt nach dem Strahlensatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{r}{R} = \frac{H-h}{H} = 1 - \frac{h}{H} \end{eqnarray*}$

Für das Zylindervolumen folgt dann, wenn man im letzten Schritt $\begin{eqnarray*} \frac{h}{H} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{r}{R} \end{eqnarray*}$ ersetzt:

$\begin{eqnarray*} V = \pi r^2 h = \pi R^2 H \cdot \left( \frac{r}{R} \right)^2 \cdot \frac{h}{H} = \pi R^2 H \left( \frac{r}{R} \right)^2 \left( 1 - \frac{r}{R} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \frac{r}{R} \end{eqnarray*}$ variiert im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,R] \end{eqnarray*}$ durchläuft. Da $\begin{eqnarray*} \pi R^2 H \end{eqnarray*}$ konstant ist, genügt es daher, den Ausdruck $\begin{eqnarray*} t^2 (1-t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ zu untersuchen. Führt man die Größe $\begin{eqnarray*} s = t - \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ein, so gilt $\begin{eqnarray*} s \in \left[ - \frac{2}{3} \, , \, \frac{1}{3} \right] \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{27} - s^2 ( s + 1) = t^2 ( 1 - t) \end{eqnarray*}$

Für die betrachteten $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ wird der Subtrahend niemals negativ, denn es ist $\begin{eqnarray*} s^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s+1 > 0 \end{eqnarray*}$ . Das Maximum wird daher für $\begin{eqnarray*} s=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} t = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ angenommen.

22.02.2006, 20:09

Mario22

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Hey danke - mal schaun ob später die Ergebnisse stimmen.
Kannst du diese Methode auch auf die zweite Aufgabe anwenden?

22.02.2006, 21:33

Mario22

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zielfunktion?
V= Pi*((H-h) * R/H)^2 * 2/3

22.02.2006, 21:47

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@Leopold

Elegant, wenn man das Ergebnis vorher kennt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine Alternative, für die man allerdings auch ein gewisses Auge braucht, ist die Anwendung von AMGM (Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel):

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{t\cdot t \cdot (2-2t)} \leq \frac{t + t + (2-2t)}{3} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Zur dritten Potenz erhoben und durch 2 geteilt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} t^2(1-t) \leq \frac{4}{27} \end{eqnarray*}$

mit Gleichheit für $\begin{eqnarray*} t=t=2-2t \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} t=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ .

22.02.2006, 22:30

Mario22

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Ja, ist das Ergebnis denn richtig?
ich habe die Aufgabe gerade eben durchgerechnet - dann bin ich ja doch nicht so doof.
Weißt du wie man die zweite Aufgabe rechnet?

22.02.2006, 22:51

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@Mario22

Stell doch erstmal die Volumenformel des einbeschriebenen Zylinders auf. Hier zu der Formel

Zitat:

Original von Mario22
zielfunktion?
V= Pi*((H-h) * R/H)^2 * 2/3

fehlen die Erklärungen, was bei dir $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ sind. Wie auch immer, sieht falsch aus.

Geh doch von $\begin{eqnarray*} V = \pi r^2h \end{eqnarray*}$ aus, mit Zylinderradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und -höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Wie jetzt $\begin{eqnarray*} r,h \end{eqnarray*}$ mit dem Halbkugelradius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ in Beziehung stehen, solltest du dir durch eine Skizze klarmachen.

22.02.2006, 23:00

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Elegant, wenn man das Ergebnis vorher kennt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Stimmt - natürlich hatte ich das Ergebnis schon gekannt. Auf der anderen Seite kann man das dahinter stehende Prinzip für Funktionen dritten Grades aber verallgemeinern.

@ Mario22

Was willst du mit dem $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ bei der Halbkugel? Die ist doch allein durch den Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ bestimmt. Wenn $\begin{eqnarray*} r,h \end{eqnarray*}$ wieder Radius und Höhe des Zylinders sind, dann gilt für das Zylindervolumen

$\begin{eqnarray*} V = \pi R^3 \left( 1 - t^2 \right) t \ \ \ \text{mit} \ \ t = \frac{h}{R} \end{eqnarray*}$

Wie man darauf kommt, dazu hat Arthur bereits Tips gegeben.

Hier ist $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Und jetzt versuche, den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \left( 1 - t^2 \right) t \end{eqnarray*}$ zu maximieren. Führe dazu wieder mittels $\begin{eqnarray*} t = s + a \end{eqnarray*}$ die Größe $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ein und bestimme dabei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so, daß die linearen Glieder des Polynoms vom Grade 3 in $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ wegfallen.

22.02.2006, 23:17

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Oder, um einmal mehr aufzuzeigen, dass man mit AMGM auch einiges ausrichten kann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(1-t^2)\cdot (1-t^2) \cdot 2t^2} \leq \ldots \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.02.2006, 23:25

Leopold

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Jetzt fehlt nur noch, daß diese Aufgabe unter Verwendung von Markow-Ketten eine Trivialität wird ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.02.2006, 23:39

AD

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Nein, mit Markow-Ketten belästige ich erst Elftklässler. Big Laugh

Big Laugh

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