minimalpolynom

22.02.2006, 16:58

kingskid

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minimalpolynom

brauch nochmal eure hilfe,... hab zwar grad die ganzen threads über minimalpolynome studiert, aber so ganz check ich das noch nicht....

in der aufgabe soll ich 3 (paarweise verschiedene) Matrizen A.B.C aus $\begin{eqnarray*} M_3 (IR) \end{eqnarray*}$ angeben, deren charakteristische Polynome übereinstimmen, aber deren Minimalpolynome paarweise verschieden sind... und das mit Beweis... verwirrt

verwirrt

hab ich das richtig in erinnerung, dass Matrizen die zur gleichen Abbildung gehören (aber andere Basen haben) das gleiche charateristische Polynom haben??

nur das mit dem minimalpolynom kann ich mir noch überhaupt nicht vorstellen...

22.02.2006, 17:08

20_Cent

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deiner erinnerung trügt dich nicht, aber ich wüsste jetzt auch keine methode, außer raten und ausprobieren, um diese 3 matrizen zu finden...
Ich würds mal mit Dreiecksmatrizen probieren, die die gleichen Diagonaleinträge haben, aber verschiedene andere Einträge...
mfG 20

22.02.2006, 17:20

kingskid

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hmm... okay, dann muss ich das wohl mal so probieren...

aber noch ne frage zu den vielfachheiten:
die algebraische vielfachheit kann ich doch immer an dem charakteristischen polynom ablesen, oder?
also, z.B. bei $\begin{eqnarray*} (X-1)³ (X+1) \end{eqnarray*}$ ist die algebr.Vielf. von dem EW=1
3 und von EW=-1 ist es 1 ?

jetzt bringt mich das aber mit der geometrischen vielfachheit irgendwie durcheinander. kann ich diese durch den $\begin{eqnarray*} Rang (A + X*1_r) \end{eqnarray*}$ bestimmen?

... und für was brauch ich diese vielfachheiten eigentlich genau?

22.02.2006, 17:23

20_Cent

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da bin ich leider überfragt, ich kenne nur eine vielfachheit, und das ist wohl deine algebraische.

Was die geometrische Vielfachheit sein soll, weiß ich nicht... hat das vielleicht was mit der Dimension des Eigenraums zu tun?

mfG 20

22.02.2006, 21:43

Mazze

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Das Minimalpolynom ist ein Teiler des char. Polynoms. Da die Minimalpolynome paarweise verschieden sein sollen , brauchen wir min. 3 Faktoren, d.h min. grad 3 des char. Polynoms. Also mindestens 3x3 Matrizen. Mir fällt sofort eine Lösung ein aber ich nehme an Du kennst die Jordannormalform nicht?

Kleiner Tip: Versuche obere Dreiecksmatrizen zu finden die alle die gleichen Eigenwerte haben (stehen auf der Diagonalen) sich aber in den Komponenten oberhalb der Diagonalen unterscheiden.

Zitat:

Was die geometrische Vielfachheit sein soll, weiß ich nicht... hat das vielleicht was mit der Dimension des Eigenraums zu tun?

Die geom. Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.02.2006, 23:22

kingskid

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dankeschön für die tipps! smile

smile

wie siehst du so was so schnell???
die jordannormalform kenn ich glaub ich leider nicht... traurig

traurig

hab das jetzt mal mit den dreiecksmatrizen versucht...
ist ja schon faszinierend *lol*

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist meine erste matrix und char.polynom (X-1)³, minimalpolynom(X-1)

dann hab ich eine matrix gesucht, die (X-1)² als minimalpolynom hat:

$\begin{eqnarray*} [\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ] [\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ac \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d.h ich müsste die einträge so wählen, dass a*c=0.
z.B.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und beim dritten habs genauso gemacht, aber keine bedingung rausbekommen, d.h. ich könnte einfach so eine nehmen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & e& f \\ 0 & 1 & g \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hat dann minimalpolynom (X-1)³

müsste so stimmen, oder hab ich mich da ganz vertan...???

und darf ich euch nochmal was zu den vielfachheiten etc fragen?
wenn ich die eigenvektoren zu einem eigenwert herausbekommen hab, ist dann die lineare Hülle dieser Vektoren der Eigenraum zu diesem einen Eigenwert??
und diese dim ist dann die geometr. vielf,
d.h. wenn geom Vielf. = algebr. Vielf. dann kann ich angeblich eine eigenbasis aufstellen und die matrix ist diagonalisierbar. könnt ihr mir diesen zusammenhang noch erklären?? das wär echt super,weil das leuchtet mir noch nicht ein...

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22.02.2006, 23:31

Mazze

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Die Einheitsmatrix ist sehr schön geeignet für die Aufgabe und wie ich das so schnell sehe? Nun das hat mit der Jordannormalform zu tun, das Minimalpolynom einer Matrix ist nämlich das char. Polynom des größten Jordanblocks, deshalb hätte ich sofort die 3 Matrizen hier genommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da steckt aber einiges an Theorie dahinter. Ich würde Dir an Deiner Stelle Deine eigenen Überlegungen anraten. Probieren kannst Du es ja selber obs stimmt (soll ja 0 rauskommen)

Zitat:

müsste so stimmen, oder hab ich mich da ganz vertan...???

Deine Matrizen stimmen wenn 0 rauskommt und es keine kleinere Potenz gibt.

Zu Deinen anderen Fragen:

Zitat:

wenn ich die eigenvektoren zu einem eigenwert herausbekommen hab, ist dann die lineare Hülle dieser Vektoren der Eigenraum zu diesem einen Eigenwert??

Ja, sofern Du alle linear unabhängigen erwischt hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

d.h. wenn geom Vielf. = algebr. Vielf. dann kann ich angeblich eine eigenbasis aufstellen und die matrix ist diagonalisierbar. könnt ihr mir diesen zusammenhang noch erklären?? das wär echt super,weil das leuchtet mir noch nicht ein...

Wenn Die geom.Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit für alle Eigenwerte ist, so existiert eine Eigenvektorbasis. Ist auch klar denn wenn die Vielfachheiten gleich sind hast Du genausoviele linear unabhängige Eigenvektoren wie die Dimension der Matrix, also hast Du eine Basis. So seien jetzt $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 ... v_n \end{eqnarray*}$ die Eigenvektoren. Wir definieren die Matrix P als

$\begin{eqnarray*} P = ( v_1, v_2, ... , v_n) \end{eqnarray*}$

also die Matrix aus den Eigenvektoren dann ist

$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP = D \end{eqnarray*}$

und D ist eine Diagonalmatrix. Übrigens ist eine Diagonalmatrix eine spezialform der Jordannormalform. Hast Du sowas mit Diagonalisierung schonmal gesehen?

22.02.2006, 23:48

kingskid

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ist ja cool, yea habs nochmal durchgerechnet, bekomm überall 0 raus *nenluftsprungmach*

hmm.. weiß leider auch nicht was es mit einem jordanblock auf sich hat, deshalb kann ich das nicht nachvollziehen wie du das so schnell hinschreiben kannst... nicht schlecht Augenzwinkern

Augenzwinkern

was mach ich wenn ich nicht alle lin. unabh. eigenvektoren erwische?? kann das passieren?? wie bekomm ich dann den eigenraum?

ahh Idee!

Idee!

THX4explanation, basis - dim, so ist das wieder logisch!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P^{-1} A P = D \end{eqnarray*}$

das erinnert mich an diese basiswechsel-geschichten...
aber was ist denn A für eine Matrix? die von ganz am Anfang?
wie meinst du hab ich mit Diagonalisierung gesehen?
was mach ich denn dann mit der Matrix D??

gaanz vielen dank nochmal für deine hilfe!!! smile

smile

22.02.2006, 23:55

Mazze

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A ist die Ausgangsmatrix und P sind die Eigenvektoren von A. Nun ja was man mit der Diagonalmatrix so alles macht. Du kannst zum Beispiel sehr einfach Potenzen der Matrix berechnen, sei A diagonalisierbar dann ist

$\begin{eqnarray*} A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1} \end{eqnarray*}$

für natürliches n. Und die Potenz einer Diagonalmatrix ist gerade die Potenz der Diagonalelemente (deshalb sehr einfach). Ansonsten ist das ganze eine Ähnlichkeitstransformation, d.h du kannst char. Polynom, minimal Polynom, Eigenwerte, Spur geom. Vielfachheiten direkt ablesen. Normalformen betrachtet man um das Problem zu vereinfachen. Die Jordanform kriegste in lineare Algebra II Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

was mach ich wenn ich nicht alle lin. unabh. eigenvektoren erwische?? kann das passieren?? wie bekomm ich dann den eigenraum?

Da gibts jetzt kein kein wirkliches Standartrezept. Wenn man mehrere Eigenvektoren hat wählt man die normalerweise schon automatisch so das sie linear unabhängig sind. Da müsste ich jetzt aber mal ein Beispiel haben wo das nicht so offensichtlich ist, aber die finden sich schwer Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

wie meinst du hab ich mit Diagonalisierung gesehen?

Naja, Du kennst den Begriff deshalb solltest Du das schonmal gesehen haben.

23.02.2006, 00:13

kingskid

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huij, ist ja ne ganze menge :=)

Zitat:

Potenz der Diagonalelemente

muss ich die diag.elemente multiplizieren und dann potenzieren??

uuund wie les ich das minimalpolynom direkt ab, hab gedacht das müsste man immer durch "ausprobieren" rausfinden??

okay... falls ich über so ein beispiel stolper frag ich dich wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

ist denn Diagonalisierung das gleiche wie Diagonalisierbarkeit`?
also d.h. doch, ich kann eine matrix als diagonal-matrix darstellen, mit der ich dann leichter rechnen kann, oder?
aber ist es dann eigentlich egal von welchem eigenwert aus ich die Eigenvektoren als Matrix P nehme?
aber verrat mir doch mal was du mit "gesehen" meinst??

dann bin ich ja mal auf LA II gespannt, was es mit dieser jordanform auf sich hat...

23.02.2006, 11:11

Mazze

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Zitat:

muss ich die diag.elemente multiplizieren und dann potenzieren??

Berechne doch mal eine hohe Potenz (irgendwie 10 oder so) einer Diagonalmatrix.

Zitat:

uuund wie les ich das minimalpolynom direkt ab, hab gedacht das müsste man immer durch "ausprobieren" rausfinden??

Bei ner Diagonalmatrix nimmst einfach jeden Eigenwert $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ . Dann ist das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{k}(x-a_i) \end{eqnarray*}$ Wobei wir k Eigenwerte haben.

Beispiel:

Das Minimalpolynom dieser Matrix ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(x - 1)(x - 2)

Und da das Minimalpolynom unter Ähnlichkeit invariant ist (gleich bleibt) kann man so ohne probieren auf das Minimalpolynom einer Matrix kommen, sofern man eine Diagonalisierbare Matrix hat.

Zitat:

ist denn Diagonalisierung das gleiche wie Diagonalisierbarkeit`?

Diagonalisierbarkeit heißt das man eine Diagonalisierung vornehmen kann. Die Diagonalisierung ist direkt die Transformation auf Diagonalform.

Zitat:

aber ist es dann eigentlich egal von welchem eigenwert aus ich die Eigenvektoren als Matrix P nehme?

Je nach dem wie Du die Eigenvektoren anordnest verändert sich die Diagonalmatrix. Allerdings vertauschen nur die Diagonalelemente.

Zitat:

aber verrat mir doch mal was du mit "gesehen" meinst??

Es scheint so als kennst Du das Ganze nicht, wohl aber den Begriff Diagonalisierung und das passt nicht.

23.02.2006, 13:32

kingskid

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Zitat:

Es scheint so als kennst Du das Ganze nicht, wohl aber den Begriff Diagonalisierung und das passt nicht.

... naja, sagen wir so, ich versuche es gerade zu lernen und zu verstehen...
danke für deine hilfe dabei... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Je nach dem wie Du die Eigenvektoren anordnest verändert sich die Diagonalmatrix. Allerdings vertauschen nur die Diagonalelemente.

wenn ich zu einer gegebenen Matrix A eine Matrix B finden soll, dass
$\begin{eqnarray*} B^{-1} A B = D \end{eqnarray*}$ ist, wobei D gegeben ist. In dem Fall hab ich jetzt meine 3 Eigenvektoren herausbekommen, muss ich das dann ausprobieren wie ich sie anordnen muss, damit die Diagonalelemente so angeordnet rauskommen wie gewünscht, oder gibts da einen trick dass man das schon vorher irgendwie sehen kann??

dann häng ich noch an ner andren aufgabe:
hab als abbildungsmatrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} det(X*1_4 - A) = \begin{pmatrix} X-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & X & -1 & 0\\ 0 & -1 & X & 0 \\0 & 0 & 0 & X-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
3.Zeile mal X u.zur 2.addiert:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & X & -1 & 0\\ 0 & 0 & X²-1& 0 \\0 & 0 & 0 & X-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann ist mein charakteristisches Polynom P(X) = X (X-1)³ (X+1) ??
hab das jetzt scho paar mal durchgerechnet, in den lösungen steht nämlich P(X) = (X-1)³*(X+1)
siehst du mein fehler, warum ich ein X zu viel hab?

23.02.2006, 14:03

Mazze

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Zitat:

oder gibts da einen trick dass man das schon vorher irgendwie sehen kann??

Probiers doch einfach mal durch und sieh selbst was passiert. Der "Trick" ist ganz simpel. Solltest Du mehrere Eigenvektoren zu einem Eigenwert haben solltest Du Diese jedoch hintereinander anordnen, das ist alles.

Zitat:

siehst du mein fehler, warum ich ein X zu viel hab?

Du sagst dritte Zeile mal X und dann zur zweiten addieren das würde das hier bedeuten :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & X & -1 & 0\\ 0 & -1 & X & 0 \\0 & 0 & 0 & X-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 + x^2 & 0\\ 0 & -1 & X & 0 \\0 & 0 & 0 & X-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Deine Umformung ist keine Äquivalenzumformung. Erinnere dich daran was es für die Determinante bedeutet wenn Du eine Zeile mit etwas multiplizierst. Bei der hier die ich gemacht habe würde dein das richtige char. Poynom raus kommen.

23.02.2006, 14:58

kingskid

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hmm, hab das mal probiert. hab zu dem ersten EW $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und zu dem andren EW die EV $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nun hab ich einmal $\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 7 & 0 & 1\\-6 &1 & 0\\ 4& 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und das andere mal $\begin{eqnarray*} B= \begin {pmatrix} 7&1&0\\-6&0&1\\4&1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
hab dann jeweil die inverse Matrix ausgerechnet und dann B^(-1) A B = D, bekomm aber beides mal die gleiche (sogar die gewünschte) Diagonalmatrix raus, deshalb hab ich das mit dem "trick" noch nicht gecheckt... ??

oh danke sehr... da hat sich der fehler eingeschlichen. d.h. ich könnte bei deiner matrix 2. und 3.zeile tauschen, dann handle ich mir dafür ein minus ein und bekomm: - (X-1)³(x+1)(-1) = (X+1)(X-1)³ smile

smile

mhm, wie bekomm ich denn nun noch das polynom raus, wenn die char(K) = 2 ist? muss ich die "-1" dann durch "1" ersetzen?
aber was mach ich mit "X-1" ? darf das so bleiben?

23.02.2006, 15:11

Mazze

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Wenn Du die Eigenvektoren zu dem selben Eigenwert austauschst passiert auch "nichts". Du solltest mal den Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hinten schreiben und die andern beiden vorn.

Du berechnest das char. Polynom über jedem Körper gleich nur das Du eventuel halt die anderen Rechenregeln beachten musst. Das ist alles.

23.02.2006, 15:34

kingskid

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okay... wenn ich es so wähle:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bekomm ich diese matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
statt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die diagomalelemente verschieben sich wie du gesagt hast, aber ich seh den "kniff" nicht... traurig

traurig

Zitat:

Du berechnest das char. Polynom über jedem Körper gleich nur das Du eventuel halt die anderen Rechenregeln beachten musst. Das ist alles.

das hört sich theoretisch gut an... aber am umsetzen hinkts bei mir für char(K)=2.... laut lösungen müsste dann nämlich P(X)= (X+1)^4
das kann ich noch nicht nachvollziehen... *kopfqualm*

23.02.2006, 15:54

Mazze

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Zitat:

die diagomalelemente verschieben sich wie du gesagt hast, aber ich seh den "kniff" nicht...

Je nach dem an welcher Stelle Du den Eigenvektor schreibst ist der Eigenwert in der Diagonalmatrix.Du solltest eigentlich gesehen haben das der Eigenwert -1 von der ersten auf die letzte Position gewandert ist, ganz genauso wie Du den Eigenvektor verschoben hast.

Zitat:

das kann ich noch nicht nachvollziehen... *kopfqualm*

Probiers mal mit dem Entwicklungssatz von Laplace, der eignet sich bei Deiner Matrix eh besser als die Zeilenumformungen.

23.02.2006, 16:18

kingskid

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ahh, das ist schlau... smile

smile

jetzt seh ich wie das zusammenhängt *ops* danke!

zum andren, du meinst so:

$\begin{eqnarray*} (X-1) \begin{vmatrix} X & -1 & 0 \\ -1 & X & 0 \\ 0 & 0 & X-1 \end{vmatrix} =(X-1)² \begin{vmatrix} X & -1 \\ -1 & X \end{vmatrix}=(X-1)²(X²-1)=(X-1)³(X+1) \end{eqnarray*}$

und das müsste ich jetzt in $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ hinbekommen, d.h.
-1 wäre eine 1 in $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ oder? aber das haut dann trotzdem noch nicht hin...
oder schmeiß ich das grad durcheinander, aber die charakteristik eines körpers gibt doch an, wie oft ich die 1 aufaddieren muss, damit 0 rauskommt, demnach wäre 1+1=0.... nur weiter weiß ich nicht...

23.02.2006, 17:24

Mazze

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Das inverse von 1 ist 1 damit ensteht das char. Polynom

$\begin{eqnarray*} (x+1)^4 \end{eqnarray*}$

das Du wolltest.

23.02.2006, 17:45

kingskid

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... okay.. . DANKE für deine geduld Augenzwinkern

Augenzwinkern

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