Extremwert

22.02.2006, 17:21

röschen

Extremwert

Hallo!
Kann mir hier irgendwer diese aufgabe lösen?Ich habe soetwas noch nicht gemacht

--> In eine Halbkugel soll ein Zylinder einbeschrieben werden, der den größten Rauminhalt hat. Der gegebene Radius der Halbkugel sei R.

22.02.2006, 17:51

Lazarus

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Komplettlösungen gibts hier nicht!

aber du darfst selbst einen versuch starten, denn einmal ist immer das erstmal, und wenn du es nicht irgendwann mal versuchst wirst du es niemals machen!

also setzt dich mal ran, und versuch erstmal nen ansatz zu finden, oder frag was du genau nicht verstehst!

servus

22.02.2006, 18:58

röschen

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Hi! Dann erklärt mir bitte irgendwer eben nur die Hälfte der Aufgabe, damit ich noch genug zu tun habe und schon eine richtige Grundlage habe!!

22.02.2006, 23:48

Lazarus

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Ist der Aufgabentext O-Ton oder fehlen da noch paar Angaben ?

Ansonsten erstmal die Vorlumensgleichungen der beiden Körper allgemein rausschreiben und vergleichen, welche größen übereinstimmen Augenzwinkern

23.02.2006, 10:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von röschen
Hi! Dann erklärt mir bitte irgendwer eben nur die Hälfte der Aufgabe, damit ich noch genug zu tun habe und schon eine richtige Grundlage habe!!

Bei der Aufgabe mit dem Zylinder in einem Kegel hast du nicht mal die Hälfte der Aufgabe selbst gerechnet. Diese Aufgabe geht nach demselben Muster:
1. Skizze machen
2. relevante Größen benennen.
3. Hauptbedingung aufstellen
4. Nebenbedingung aufstellen
Und da solltest du dich mal selbst mit beschäftigen und dir nicht alles vorkauen lassen.

04.06.2006, 15:39

Crydom

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Hallo,

Ich sitze grad an genau der gleichen Aufgabe.

Meine Halbkugel hat einen Radius von R=20m.

Ich habe folgendermaßen begonnen.

Extremalbedingung:
Vmax=f(r,h)
V=Pi*r^2*h
Nebenbedingung:
h^2=r^2-(b/2)^2

Hab mal ne kleine Skizze dran gehängt. Hab die Nebenbedingung mit Pytagoras aufgestellt!? Ist das den richtig so? Brauch ich nicht irgendwie die Volumenformel von der Halbkugel?

MfG Crydom

05.06.2006, 14:05

Crydom

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Hat wohl keiner lust mir mal nen Tip zu geben?

MfG Crydom

05.06.2006, 14:12

JochenX

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Ungeduld ist auch eine Tugend !?

Die Idee ist richtig, die Ausführung komisch, deine Urpsrungsform hängt von r ab, was aber eigentlich für den Kugelradius steht, der Zylinderradius heißt später b/2.
Sortiere deine Bezeichnungen, dann bist du auf dem rechten Pfad.

05.06.2006, 15:59

Crydom

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Naja ich warte ja schon nen ganzen Tag auf eine Antwort!!
Hm ich verstehe noch nicht so ganz was du meinst mit Sortieren.
Also b/2 ist mein Zylinderraduis und r ist der Kugelradius mit 20m.
ich wollte meine Volumenformel quadrieren
also

$\begin{eqnarray*} V^2=Pi^2*r^4*h^2 \end{eqnarray*}$

so das ich direkt h^2 Substituiren kann.
Ist das so in ordungn?
Würde dann ja rausbekommen

$\begin{eqnarray*} V^2=Pi^2*r^4*(r^2-(b/2)^2) \end{eqnarray*}$

ist das richtig?
Kann ich das noch vereinfachen?
Oder bringt ich was mit meinen Radien durcheinander?

MFG Crydom

05.06.2006, 18:43

JochenX

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ich meinte das:

Zitat:

V=Pi*r^2*h

und das scheinst du immer noch falsch zu machen.

Wieso geht in das Volumen des Kegels direkt der Kugelradius ein?

06.06.2006, 13:11

Crydom

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Ich glaub wir reden etwas aneinander vorbei!?
Es soll ja kein Kegel unter die Halbkugel sondern ein Zylinder!
Deshalb hab ich als Extremalbedingung die Volumenformel vom Zylinder genommen!
Und ich will mit meiner Nebenbedingung h ersetzen.
Habe mein Kugelradius jetzt mit R=20m und mein Zylinderradius mit r bezeichnet!
Die Nebenbedingung ist ja $\begin{eqnarray*} h^2=R^2-r^2 \end{eqnarray*}$ oder?
Das hab ich dann in die Volumenformel Substituiert. Damit ich gleich h^2 Substituiren kann quadriere ich meine Volumenformel.
Deshalb $\begin{eqnarray*} V^2=Pi^2*r^4*h^2 \end{eqnarray*}$ und für h^2 setze ich jetzt $\begin{eqnarray*} R^2-r^2 ein \end{eqnarray*}$ .

Dann ensteht die gleichung:

$\begin{eqnarray*} V^2=Pi^2*r^4*(R^2-r^2) \end{eqnarray*}$

ist das denn richtig !?

MfG Crydom

06.06.2006, 13:24

zweiundvierzig

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Warum so umständlich? Da $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ onehin nicht negativ werden kann, hättest du gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{R^2-r^2} \end{eqnarray*}$ einsetzen können. Sonst dürfte das stimmen, aber ich muss leider weg und kenne jetzt den gesamten Aufgabenkontext nicht.

mfg
zweiundvierzig

06.06.2006, 13:26

JochenX

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ja, das ist richtig und die Idee mit dem quadrieren ist nicht umständlich, sondern gut, da du sonst später eh Wurzeln bekommst.
V max <=> V^2 maximal ist natürlich klar.

Was mich oben verwirrt hat, da hattest du plötzlich noch ein b/2 drin....

06.06.2006, 14:00

Crydom

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ja das war etwas doof geschrieben das b/2 war mein Zylinderradius also r!! Ist mir gestern abend erst aufgefallen das es so viel einfacher ist! smile

Also ist meine Zielfunktion mit

$\begin{eqnarray*} V^2=Pi^2*r^4*(R^2-r^2) \end{eqnarray*}$ ist richtig?

ist es denn Sinnvoll jetzt die Klammer aufzulösen?
Weil ich ja dann noch die Ableitungen bilden muss!?

Wenn ich die Klammer auflöse hab ich im ersten schritt
$\begin{eqnarray*} V^2=Pi^2*(r^4*R^2-r^4*r^2) \end{eqnarray*}$
nun bringe ich noch Pi in die Klammer
$\begin{eqnarray*} V^2=Pi^2r^4R^2-Pi^2r^4r^2 \end{eqnarray*}$
nun kann ich noch die beiden hintern r zusammenfassen und etwas umschreiben so das ich als fertige Funktion stehe hab.
$\begin{eqnarray*} V^2=-Pi^2r^6+Pi^2r^4R^2 \end{eqnarray*}$

nun hab ich das abgeleitet.
1.Ableitung
$\begin{eqnarray*} V^2=-6Pi^2r^5+4Pi^2r^3R^2 \end{eqnarray*}$
und
2.Ableitung
$\begin{eqnarray*} V^2=-30Pi^2r^4+12Pi^2r^2R^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt es denn soweit?

dann hab ich versucht die Nullstellen der ersten Ableitung zu berechnen und da komm ich nicht so ganz weiter!!

MfG Crydom

06.06.2006, 17:35

JochenX

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bitte bitte, schreibe "\pi" statt PI

übrigens wenden wir einen Trick an. Wir maximieren nicht nur V^2, sondern $\begin{eqnarray*} \frac{V^2}{\pi^2}=:w \end{eqnarray*}$
Damit wird die zu maximierende Funktion viel schreibfreundlicher und *pi^2 ist eh nur eine weitere Streckung.

$\begin{eqnarray*} w(r)=r^4*R^2-r^6 \end{eqnarray*}$ schaut doch freundlich aus.

wenn du von erster und zweiter Ableitung sprichst, dann sollte da auch nicht mehr V^2 stehen, sondern V^2' bzw V^2''. Schreibfehler, der schnell zu Problemen führt!

versuch das ganze noch mal mit dem einfacheren w(r).
In beiden Fällen kannst du die Nullstellen von V^2'(r) bzw. w'(r) schnell berechnen - klammere r^3 aus.

Achte auch auf sinnvolle Bereiche für r.

06.06.2006, 18:05

Crydom

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Hi,

also das mit was du jetzt noch geschrieben hast versteh ich nicht so ganz..
aber ist glaub ich auch nicht so wichtig..

hab mit meinen Ableitungen weiter gerechnet und hab für r=16,33 raus.

Ich denke das könnte hinkommen!
Hab allerdings keine ergebnisse für die aufgabe.

Danke nochmal für deine Hilfe!!!

MfG Crydom

06.06.2006, 18:52

JochenX

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den 16ungrad stimme ich zu smile

Das ist auch die Maximalstelle von w(r).

06.06.2006, 19:00

Crydom

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Supaaa

also danke nochmal für deine Hilfe!!!
Und nen schönen abend noch!

Bis zum nächsten mal smile

MfG
Crydom

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