Überabzählbarkeit

22.02.2006, 19:16	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Überabzählbarkeit Ich brauch mal eure Hilfe mit einer Aufgabe: Gegeben sei eine Funktion $\begin{eqnarray} \alpha: \mathbb N \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit a < b zeige man, daß es im abgeschlossenen Intervall I = [a,b] einen Punkt c gibt mit $\begin{eqnarray} c \not \in \{\alpha(n) : n \in \mathbb N \} \end{eqnarray}$ . Man folgere: I und damit R sind überabzählbar. Hinweis: Durch Induktion definiere man eine Folge abgeschlossener Intervalle $\begin{eqnarray} I = I_0 \supset I_1 \supset.. \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha(n) \not \in I_{n+1} \end{eqnarray}$ und verwende, daß $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} I_n \not = \{\} \end{eqnarray}$ Der Hinweis verwirrt mich ein wenig. Wie soll man $\begin{eqnarray} \alpha(n) \not \in I_{n+1} \end{eqnarray}$ bewerkstelligen? Mein Ansatz: Ich definiere mir die Menge der Alpha-Bilder die in I liegen: $\begin{eqnarray} T = \{\alpha(n) : n \in \mathbb N \wedge \alpha(n) \in I \} \end{eqnarray}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray} \|T\| = \infty \end{eqnarray}$ , der endliche Fall ist ja trivial. Jetzt definiere ich induktiv eine Funktion $\begin{eqnarray} \beta : \mathbb N \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \beta(0) = min (T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta(n+1) = min (T \setminus \{\beta(0),\beta(1),...,\beta(n)\}) \end{eqnarray}$ Meiner Meinung nach ist jetzt $\begin{eqnarray} T = \{ \beta(n): n \in \mathbb N\} \end{eqnarray}$ und ich kann das n-te Intervall definieren als $\begin{eqnarray} I_n = [\beta(n), b] \end{eqnarray}$ So ungefähr hatte ich mir das vorgestellt. Allerdings gibts da ein Problem: Es kann niemals $\begin{eqnarray} b \in T \end{eqnarray}$ gelten. Denn wenn es ein n gäbe mit $\begin{eqnarray} \beta(n)=b \end{eqnarray}$ wäre \|T\| endlich da kein Beta-Bild größer als b sein kann. Das ist aber komisch, es kann ja ohne weiteres ein n geben, so daß $\begin{eqnarray} \alpha(n) = b \end{eqnarray}$ ist. Das versteh ich nicht, bitte helft mir
22.02.2006, 23:54	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbarkeit Ja. Da sind 2 Probleme: einmal ist das Minimum ggf. nicht definiert (weil es nicht angenommen wird), du könntest aber das Infimum nehmen (stelle dir eine gegen 0.5 streng monoton fallende Folge vor). Zum anderen könntest du immer dasselbe Infimum erhalten (nehme eine Folge mit verschiedenen Verdichtungspunkten), womit deine Intervallfolge dann nicht echt absteigend wäre. Betrachte lieber eine Intervallfolge, wobei du die Intervall-Länge immer um den Faktor 1/3 verkleinerst. Welchen Teil des Intervalls du herausnimmst, kannst du dir in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \alpha(n) \end{eqnarray}$ überlegen. Grüße Abakus
23.02.2006, 00:22	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbarkeit Wäre der Schnitt aus diesen Intervallen nicht leer?
23.02.2006, 00:55	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbarkeit Stimmt. Wieso ist mir das nicht aufgefallen? *g Aber das Problem besteht noch wenn das Minimum definiert ist. Irgendwie haut das mit der "Umsortierung" durch beta nicht hin. Aber warum nicht? z.B. bei der Folge a_0 = 1 = b a_1 = 0 a_{n+1} = a_n + 1/2^n Das Minimum von {a_n : n in IN} ist immer def. und durch beta erhalte ich: c_0 = a_1 c_1 = a_2 ... Aber wieder gilt nicht b in {c_n : n in IN} Deinem Vorschlag kann ich nicht ganz folgen. Man würde natürlich den Teil des Intervalls wählen der nicht a_n enthält. Aber was ist wenn a_n Intervallgrenze ist? Dann kann es doch passieren das mein neues Intervall doch a_n enthalten muss wenn es andernfalls offen wäre?
23.02.2006, 01:53	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbarkeit Ich definiere einmal den Anfang der Intervallfolge: Sei $\begin{eqnarray} I_0 := [0, 1] \end{eqnarray}$ . Sei dann $\begin{eqnarray} I_1 := [0, \frac{1}{3}] \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} \alpha(1) \notin [0, \frac{1}{3}] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I_1 := [\frac{2}{3}, 1] \end{eqnarray}$ , sonst, usw. (das exakt induktiv zu definieren überlasse ich dir ) Der Schnitt einer so definierten Intervallfolge ist genau einpunktig. Grüße Abakus
23.02.2006, 02:25	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so einfach war das Danke. Bleibt noch das Problem mit der Folgenumsortierung.. ..und ich glaub die Antwort liegt schon fast in der Frage. Beta ist ja nicht nur irgendeine Abbildung $\begin{eqnarray} \beta : \mathbb N \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ sondern eigentlich eine Abbildung $\begin{eqnarray} \beta: \mathbb N \rightarrow \{\alpha(n) : n \in \mathbb N\} \end{eqnarray}$ . Wenn diese nicht bijektiv ist, und das ist sie ja eben nicht in meinem Beispiel im letzten Post, ist das ganze keine Umsortierung mehr. Es ist ganz natürlich das dann b nicht mehr in bild(beta) vorkommen muss. So, nun ist mein Ansatz von oben entgültig untergegangen *g
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