Koordinatenform einer Ebene

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22.02.2006, 22:43	kt348	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatenform einer Ebene A(6\|0\|0) ; B(0\|6\|0) ; C(0\|0\|9) 6a=d 6b=d 9c=d Kann mir jemand erklären wie davon die Koordinatengleichung lautet und wie man darauf kommt?
22.02.2006, 22:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Die Ebene soll durch die 3 Punkte gehen. 6, 6, und 9 sind die Abschnitte auf den jeweiligen Achsen, setze diese in die Achsenabschnittsform $\begin{eqnarray} \frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{b} + \frac{x_3}{c} = 1 \end{eqnarray}$ ein. Gr mYthos
22.02.2006, 22:48	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Koordinatengleichung einer Ebene ist von der Form ax + by + cz = d So, 3 Punkte definieren eine Ebene eindeutig, Du hast 3 Punkte. Nun was macht man? Wir wollen die Koeffizienten a,b,c und d haben. Dazu basteln wir uns ein lineares Gleichungssystem und lösen es. Beispiel: Wir wollen die Ebene durch die Punkte $\begin{eqnarray} (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \end{eqnarray}$ als Koordinatendarstellung haben. Wir setzen also für x,y,z die Werte ein. Das ergibt folgendes lineares Gleichungssystem $\begin{eqnarray} 1a + 0b + 0c = d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0a + 1b + 0c = d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0a + 0b + 1c = d \end{eqnarray}$ Damit ist a = b = c = d (sehr einfaches Beispiel halt). Ich hoffe Du kannst lineare Gleichungssysteme mit dem Gaußalgorithmus lösen. Wie auch immer, das d darf ich frei wählen. Ich nehme der EInfachheit halber d = 1 , man könnte auch d = 10 oder d = einfantastilliontrilladendonnerwetter setzen . Unsere Ebene ist dann: x + y + z = 1 Alles klar? edit: zu spät
22.02.2006, 22:50	kt348	Auf diesen Beitrag antworten »
Mag jertzt vllt. etwas doof klingen, aber ich kann damit einfach nichts anfangen. Wie sind denn die nächsten Rechenschritte?
22.02.2006, 22:51	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Womit kannst Du nicht anfangen?
22.02.2006, 22:52	kt348	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist mir soweit alles bekannt, aber ich kann es nicht auf mein Beispiel anwensen. Ist wie eine Blockade im Kopf
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22.02.2006, 22:52	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib auf wo Du es nicht verstehst. Am besten den Lösungsvorschlag!
22.02.2006, 22:56	kt348	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre eine mögliche Koordinatengleichung dann (im Falle d=1) $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}x_1+\frac{1}{6}x_2+\frac{1}{9}x_3=1 \end{eqnarray}$
22.02.2006, 22:58	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wäre sie, dann hast Du es nämlich in die Formel eingesetzt die Mythos gepostet hat Bedenke, die Koordinatendarstellung deiner Ebene ist nicht eindeutig. Das heißt es kann sein das Deine Mitschüler andere Lösungen haben die aber alle äquivalent sind.
22.02.2006, 23:01	kt348	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann hab ich es verstanden. Davon muss ich nun die Normalenform bestimmen.
22.02.2006, 23:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Erweitere die Gleichung noch mit 18, um die Brüche wegzubekommen. @Mazze: Nein, nicht zu spät, denn der von dir beschrieben Weg kann eingeschlagen werden, wenn nicht gerade die Achsenabschnitte gegeben sind. Es ist in dieser Hinsicht sehr lehrreich. Bei den Achsenabschnitten gibt's halt den kürzeren, vielleicht weniger bekannten Weg ... Gr mYthos
22.02.2006, 23:06	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich frag Dich mal anders, wie sieht denn die Normalenform aus?
22.02.2006, 23:08	kt348	Auf diesen Beitrag antworten »
also, ohne sie mit 18 erweitert zu haben lautet sie: $\begin{eqnarray} [\vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}] \begin{pmatrix} 1/6 \\ 1/6 \\ 1/9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
22.02.2006, 23:09	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist sie fast , da fehlt noch was. @ Mythos Da haste recht!
22.02.2006, 23:10	kt348	Auf diesen Beitrag antworten »
= 0 Pedant
22.02.2006, 23:11	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig.

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