Drehung oder Spiegelung? Formelchaos :-(

23.02.2006, 17:12

Bloomy

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Drehung oder Spiegelung? Formelchaos :-(

Hallöchen,

versinke grade irgendwie in einem Formelchaos^^. Uns wurden heut ganz viele gegeben aber was man da so wirklich mit tun soll, das weiß keiner so genau *g*.

Auf jeden Fall ist eine Matrix gegeben und wir sollen bestimmen, ob es sich dabei um eine Drehung oder Spiegelung handelt und gegebenenfalls die Spiegelungsachse oder den Drehwinkel bestimmen.

Hab hier mal eine Beispielaufgabe, die wir so in der Schule gelöst haben:

1/5 * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Position des Minuszeichens könnte man also darauf schließen, dass es sich hierbei um eine Spiegelung handelt.
Man prüft also mit der Formel (sin $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )²+(cos $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )²=1, ob das stimmt.
Ja, wenn man da dann -3/5 und 4/5 einsetzt, kommt da auch 1 raus, also ist es eine Spiegelung und wenn man nun aus der allgeimeinen Spiegelungsmatrix 1-m²/m²+1 =-3/5 setzt, dann bekommt man für m=2, also ist die Spieglungsachse y=2x.

Aber uns wurde gesagt, dass die Formel zur Überprüfung einer Drehung auch (sin $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )²+(cos $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )²=1 wär und das versteh ich nunmal überhaupt nicht!

Denn, wenn ich jetzt eine Abbildungsmatrix gegeben hab und mir denke, das könnte eine Spiegelung sein, dann setze ich doch nicht in die gleiche Gleichung ein wie zur Überprüfung einer Drehung!Dann brauch ich doch genauso gut gar nix zu überprüfen! Kommt mir irgendwie ein bisschen spanisch vor...^^

Bei der Aufgabe b) (die wir auch noch zusammen in der Schule gerechnet haben), lautet die Abbildungsmatrix 1/25 * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}24 & 7\\-7 & 24\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das könnte von der Stelle des Minus eine Drehung sein
Dann haben wir gerechnet: (24/25)² + (-7/25)²=1
HÄ? Ich versteh das nicht, wieso die gleiche Rechnung wie bei einer Spiegelung? Mag sein, dass ich doof bin aber ich blick da einfach nicht durch.

Bei c) heißt die Abbildungsmatrix dann 1/13 $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5&12 \\12& -5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hab die Aufgabe mal versucht alleine zu lösen und wollte da dann mal 'ne andere Methode versuchen, damit ich das vielleicht besser versteh...Hab dann 1-m²/m²+1=5/13 gesetzt, wobei ich nachher m=4/9 rausbekam.

Bei 2m/m²+1 =12/13 bekam ich allerdings für m= 18/12 und m= 8/12 raus....Also ist c doch keine Spiegelung?

Angenommen ich würd bei c) auch wieder mit sin und cos rechnen....welche Zahlen der Matrix würde ich dann nehmen? Wir sollen immer die 1. Spalte nehmen aber da dort kein Minus ist, kann doch weder für Drehung noch für Spiegelung 1 rauskommen.*seufz* Helft mir BITTE!

23.02.2006, 17:39

AD

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Kein Chaos, es ist sogar alles sehr einfach nachprüfbar. Wenn wir uns ausschließlich auf zweidimensionale Dreh- und Spiegelungsmatrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschränken:

$\begin{eqnarray*} \det(A)=+1 \end{eqnarray*}$ bedeutet Drehung, einfacher: gleiche Vorzeichen auf der Hauptdiagonalen

$\begin{eqnarray*} \det(A)=-1 \end{eqnarray*}$ bedeutet Spiegelung, einfacher: unterschiedliche Vorzeichen auf der Hauptdiagonalen

23.02.2006, 21:03

Bloomy

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Was bedeutet denn det?

24.02.2006, 11:20

AD

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Determinante; bei einer 2x2-Matrix einfach $\begin{eqnarray*} \det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} = ad-bc \end{eqnarray*}$ .

24.02.2006, 19:00

Bloomy

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Das ist ja viel einfacher als wir das gemacht haben:-).

Das werd ich direkt morgen mal ausprobieren :-)
Danke!!!

26.02.2006, 15:23

Bloomy

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Hab mal eine kurze Rückfrage. Wie kann ich denn nun herausfinden, um wie viel Grad die gegebene Abbildung gedreht wurde? Gibt es da auch so eine Formel für?

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26.02.2006, 17:02

riwe

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bei drehung um O um den winkel alpha gegen den uhrzeigersinn hast du
$\begin{eqnarray*} R=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix} \text { mit }det(R)=+1 \end{eqnarray*}$
werner

27.02.2006, 15:42

Bloomy

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Was ist denn mit der Formel tan $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{sin\alpha }{cos\alpha } \end{eqnarray*}$ ?

Kann ich die auch nehmen?

27.02.2006, 15:53

riwe

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die ist auf jeden fall richtig.
wo willat du sie verwenden?
auch in deinem beispiel
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\begin{pmatrix} -3 & 4 \\4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wäre cosinus oder sinus doch einfacher, denke ich.
werner

27.02.2006, 15:58

stef123

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Kein Chaos, es ist sogar alles sehr einfach nachprüfbar. Wenn wir uns ausschließlich auf zweidimensionale Dreh- und Spiegelungsmatrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschränken:

$\begin{eqnarray*} \det(A)=+1 \end{eqnarray*}$ bedeutet Drehung, einfacher: gleiche Vorzeichen auf der Hauptdiagonalen

$\begin{eqnarray*} \det(A)=-1 \end{eqnarray*}$ bedeutet Spiegelung, einfacher: unterschiedliche Vorzeichen auf der Hauptdiagonalen

Wenn ich in Lineare Algebra richtig aufgepasst habe, könnte doch A bei det(A)=-1 auch eine Drehspiegelung sein, oder?

27.02.2006, 16:10

Bloomy

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Also, angenommen mein Beispiel wäre eine Drehung (hab ich jetzt nicht mehr im Kopf was das war), dann würde ich tan $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 4/5 : 3/5 rechnen und hätte dann hinterher den Drehwinkel.

Ist doch eigentlich egal, ob ich nun Cosinus oder Tangens in den Taschenrechner tippe, ist das nicht beides gleich aufwendig?

Mhm...aber ist das nicht so, dass eine Spiegelung sowieso auch immer gleichzeitig eine Drehung ist oder umgekehrt? Irgendwas war da doch...

27.02.2006, 16:33

stef123

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RE: Drehung oder Spiegelung? Formelchaos :-(
Angenommen, dass wäre deine Drehmatrix:

$\begin{eqnarray*} D=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist folgt $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5}=\cos\alpha \end{eqnarray*}$

Voraussetzung ist, dass obenrechts ein negativer Wert steht.

Wenn was positves obenrechts steht, musst du zum arccos 3/5 noch pi addieren oder abziehen. Bin mir da aber nicht ganz sicher. Habe das Buch gerade nicht greifbar, wo ich das gelesen habe.

27.02.2006, 17:02

AD

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Zitat:

Original von stef123
Wenn ich in Lineare Algebra richtig aufgepasst habe, könnte doch A bei det(A)=-1 auch eine Drehspiegelung sein, oder?

Begriff Drehspiegelung = Drehung + Spiegelung?

Richtig. Allerdings genügt bei richtiger Wahl der Spiegelungsachse stets auch eine Nur-Spiegelung, d.h. ohne zusätzliche Drehung.

28.02.2006, 15:30

Bloomy

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Stimmt, das ist viel einfacher. Naja, werd aber wohl doch beim Tangens bleiben, sonst komm ich da nachher mit dem Pi durcheinander, hab da irgendwie so ne Vorzeichenschwäche Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber trotzdem danke smile

smile

28.02.2006, 21:06

hhheeeee

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Um nachzuweisen dass es sich um eine Drehmatrix handelt muss du
Determinante A = 1 nachweisen und nachweisen dass die Spaltenvektoren orthogonal sind, sprich das Skalarprodukt muss 0 sein.
Zum Drehwinkel gibt es die schöne Formel
cos (winkel) = 1/2 * (Spur A-1)
Die Spur ist dabei nur die Summe der Hauptdiagonale.
Mfg Tobias

01.03.2006, 00:55

stef123

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Zitat:

Original von hhheeeee
cos (winkel) = 1/2 * (Spur A-1)
Mfg Tobias

Achtung! Die Formel gilt nur im R^3

Im R^2 ist Spur(A)=2cos(winkel)

Wenn du das einsetzt erhälts du 0=-1/2. Passt also nicht für den R^2.

01.03.2006, 16:48

hhheeeee

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Gut dass du das dazusagst hab da gar nicht dran gedacht
Mfg Tobias

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