Noch ein Problem mit Kurvendiskussionsaufgabe

24.02.2006, 11:55

Milchshake

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Noch ein Problem mit Kurvendiskussionsaufgabe

Hallo,

muss eine Belegarbeit in Mathe und bin nicht so gut in diesem Fach, nun komme ich bei einer Aufgabe überhaupt nicht klar, sie hat 4 Teilaufgaben.

Also Aufgabestellung:

Für jede Reele Zahl k ungleich 0 ist eine Fuktion $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_k(x) =(-1/kx) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} ln x \end{eqnarray*}$ ; x e R, x > 0 . Ihr GRaph sei $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$

Die Abbildung ( http://www.p2u.de/Milchshake/Bilder/Scan0001.jpg ) zeigt den Graph $\begin{eqnarray*} G_0,2 \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f_0,2(x) = (-5/x) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} ln x \end{eqnarray*}$

Die 0,2 is immer tiergestellt, komm mit der Bediehnung nich zurecht!

So und nun zu a)

Weisen Sie nach, dass alle Graphen $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$ die x-Achse in einem gemeinsamen Punkt $\begin{eqnarray*} P_x \end{eqnarray*}$ schneiden. Geben Sie seine Koordinaten an! Ermitteln sie die Grenzwerte lim $\begin{eqnarray*} f_k (x) \end{eqnarray*}$ (x geht gegen + Unendlich) und lim $\begin{eqnarray*} f_k (x) \end{eqnarray*}$ (x geht gegen 0)
Habe leider noch nicht die Bohne einen Ansatz, wäre schön wenn wir das von oben nach unten durcharbeiten können!

Danke schon mal an alle die mir helfen!

24.02.2006, 12:02

klarsoweit

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RE: Noch ein Problem mit Kurvendiskussionsaufgabe
Also so lautet die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f_k(x) =- \frac{1}{kx \cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$
Und was ist jetzt die Aufgabe?

PS: benutze * als Multiplikationszeichen nicht x, bzw. \cdot in latex.
Und \frac{a}{b} für Brüche.

24.02.2006, 12:02

Lazarus

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ich schreibs schön ab:

$\begin{eqnarray*} f_k(x)= -\frac{1}{kx} \cdot \ln{x} \quad;\; x \in \mathbb R^+_0 \;;\; k \neq 0 \end{eqnarray*}$

so und nun wäre es natürlich interessant zu erfahren wie die aufgabenstellung lautet.

bisher hast du nur die angaben hingeschrieben.
\\edit: @ klarsoweit: aufgrund des graphen denk ich nicht das ln im nenner steht.

24.02.2006, 12:04

Milchshake

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Man ihr seit aber schnell!! Wollte das alles schritt für schritt machen und gucken ob den halbwegs zu lesen ist!

24.02.2006, 12:07

Lazarus

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*gg*
ok, nachdem nun die angaben mit dastehn können wir ja anfangen:

wenn du gemeinsame punkte von scharfunktionen suchst, dann musst du die funktionsgleichungen für zwei verschiedene parameter (z.b. $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ ) formulieren und gleichsetzten.

die grenzwerte machen wir danach Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2006, 12:07

Milchshake

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@ klarsoweit das ln x steht also über dem Bruchstrich!!

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24.02.2006, 12:14

Milchshake

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Also muss ich 2 Funktionen von unterchiedlichen k werten abhängigmachen??

24.02.2006, 12:16

Lazarus

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wie meinst du das ?
wenn du etwas von k abhänig machst löst du dann nach k auf ?
das wäre falsch.

einfach die gleichungen der funktionen formulieren für unterschiedliche k und dann gleichsetzten.

24.02.2006, 12:20

Milchshake

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Also sowas wie $\begin{eqnarray*} f_1(x) =\frac{-1}{1x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} * lnx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f_2(x) =\frac{-1}{2x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} * lnx \end{eqnarray*}$ ??

24.02.2006, 12:26

Lazarus

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nein, du musst immernoch variable parameter nehmen.

benutze doch, wie ich bereits oben vorgeschlagen habe $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$

24.02.2006, 12:28

Milchshake

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Hää wie soll ich das denn machen??? Weiß es ist für dich bestimmt einfach aber für mich ist es echt mörder!!

24.02.2006, 12:31

Lazarus

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es sollte dann ungefähr so aussehn:
$\begin{eqnarray*} f_{k_1}(x) &=& f_{k_2}(x)\\& & \\\Rightarrow -\frac{ \ln{x}}{k_1x}&=& -\frac{\ln{x}}{k_2x} \end{eqnarray*}$

24.02.2006, 12:36

Milchshake

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Danke

Tanzen

dann muss ich doch umstellen und Nullsetzten um die X-Koordinate herauszufinden und für x 0 einsetzten um die Y Koordinate herauszufinden!

24.02.2006, 12:44

Lazarus

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Zitat:

dann muss ich doch umstellen und Nullsetzten um die X-Koordinate herauszufinden und für x 0 einsetzten um die Y Koordinate herauszufinden

wenn du umformst zu der Art: $\begin{eqnarray*} f_{k_1}(x)-f_{k_2}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ bestimmst du sozusagen die Nullstellen der Abstandsfunktion zwischen diesen beiden Parameterfunktionen $\begin{eqnarray*} a_{k_{1,2}}(x) := f_{k_1}(x)-f_{k_2}(x) \end{eqnarray*}$ (das ist der mathematische Hintergrund davon)
Soweit ist alles richtig.
Falsch ist allerdings dann für x einfach mal 0 einzusetzten um die y-werte rauszubekommen.
du musst den wert für x, den du für die nullstellen von a(x) raus hast, in f einsetzten.

Dann erhältst du den dazugehörigen y-wert.

tu das doch mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2006, 12:55

Milchshake

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okay

also

$\begin{eqnarray*} -\frac{ln x}{k_1x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{lnx}{k_2x} \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}- (-\frac{lnx}{k2x}) \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}+\frac{ln x}{k2x} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig??

24.02.2006, 13:04

Lazarus

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Zitat:

Original von Milchshake
Also das mit y hab ich jetzt nicht geschnallt.. Tut mir leid!

machen wir erst mal X!

also

$\begin{eqnarray*} -\frac{ln x}{k_1x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{lnx}{k_2x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}- (-\frac{lnx}{k2x}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}+\frac{ln x}{k2x} \end{eqnarray*}$

soweit erstmal richtig??

nicht ganz:
du müsstest bei den zeilen zwei und drei jeweils noch ne 0 auf die andere seite schreiben.
danach dann die werte von x bestimmen für die der rechte term 0 wird.

24.02.2006, 13:12

Milchshake

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kay

also

$\begin{eqnarray*} -\frac{ln x}{k_1x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{lnx}{k_2x} \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}- (-\frac{lnx}{k2x}) \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}+\frac{ln x}{k2x} \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{- k_2 ln x}{k_1 k_2 x} + \frac{k_1 ln x}{k_1 k_2 x} \end{eqnarray*}$

Hoffe hab richtig Gleichnamig gemacht??

24.02.2006, 13:14

Lazarus

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du hast richtig erweitert, aber das ist garnicht nötig.

du könntest doch ln(x) ausklammern...

24.02.2006, 13:19

Milchshake

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$\begin{eqnarray*} -\frac{ln x}{k_1x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{lnx}{k_2x} \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}- (-\frac{lnx}{k2x}) \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}+\frac{ln x}{k2x} \end{eqnarray*}$

stimmt...

0 = $\begin{eqnarray*} ln x (\frac{-1}{k_1x}+ \frac{1}{k_2x}) \end{eqnarray*}$

Nur was muss ich jetzt machen! Durch ln x rechnen... und dann??

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{k_1x}+\frac {1}{k_2x} \end{eqnarray*}$

24.02.2006, 13:24

Lazarus

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wenn du durch ln(x) teilst, musst du vorraussetzten das ln(x) ungleich 0 sein muss.

dann formen wir noch ein bisschen um:
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{k_2x}-\frac{1}{k_1x}=0 \end{eqnarray*}$ man sieht das, dass für $\begin{eqnarray*} k_1=k_2 \end{eqnarray*}$ der fall ist, was allerdings nach vorrausetzung ausgeschlossen ist.

Nun hat man vorher allerdings $\begin{eqnarray*} ln(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen.
kann der logarithmus allerdings doch 0 werden ?
wenn ja, würde das eine gesonderte untersuchung erfordern ...

24.02.2006, 13:30

Milchshake

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Wie jetzt?? was ist das jetzt nun richtig??

24.02.2006, 13:36

Lazarus

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Zitat:

Original von Milchshake
$\begin{eqnarray*} -\frac{ln x}{k_1x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{lnx}{k_2x} \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}- (-\frac{lnx}{k2x}) \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-ln x}{k_1x}+\frac{ln x}{k2x} \end{eqnarray*}$

stimmt...

0 = $\begin{eqnarray*} ln x (\frac{-1}{k_1x}+ \frac{1}{k_2x}) \end{eqnarray*}$

Nur was muss ich jetzt machen! Durch ln x rechnen... und dann??

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{k_1x}+\frac {1}{k_2x} \end{eqnarray*}$

das rote ist nur bedingt richtig, wenn du vorraussetzt das ln(x) ungleich 0 ist.
das erfordert im nachfolgenden also eine gesonderte untersuchung.
wie du feststellen wirst, wird ln(x) nämlich für geeignete x schon 0.

aus dem übriggebliebenen term kann man ablesen, das für unterschiedliche k1 und k2 keine weiteren gemeinsamen punkte zu erwarten sind.

24.02.2006, 13:44

Milchshake

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Aja... Aber es steht doch nirgends das ln x ungleich null sein muss, oder??

ln 1 ist doch Null, heißt das das die X koordinate dieses Punktes 1 ist?

24.02.2006, 13:49

klarsoweit

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Ja.

Freude

24.02.2006, 13:55

Milchshake

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Aja... und wie muss ich dann diese Erkenntnis zu Papier bringen?

Und wie siehts dann mit y aus?? Wie muss man das anpacken??

24.02.2006, 14:09

Lazarus

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Zitat:

Original von Milchshake
Aja... Aber es steht doch nirgends das ln x ungleich null sein muss, oder??
[...]

eben, darum musst du das ja hinschreiben wenn du durch ln(x) teilst, und dann deine eigene geschaffene vorraussetzung überprüfen was passiert wenn es doch = 0 wird.

zum "auf papier bringen" einfach:

Nebenuntersuchung Fall: ln(x)=0
$\begin{eqnarray*} \ln{x}&=&0\\e^{\ln{x}}=x&=&e^0\\x&=&1 \end{eqnarray*}$
dann noch die y-koordinaten ausrechenen:
$\begin{eqnarray*} f(1)=... \end{eqnarray*}$ unter fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2006, 14:18

Milchshake

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Also setzt ich die 1 nun in die Ausganggleichung ein, da kommt dann auch 0 raus ist ja eigenlich ganz logisch is ja ein Schnittpunkt mit der X-Achse gefragt!

also ist

$\begin{eqnarray*} P_x (1/0) \end{eqnarray*}$

die GRenzwertberechnung wird auch nochmal hart für mich!

Muss man das mit

$\begin{eqnarray*} \frac{f( x_0 + h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

ausrechnen?

24.02.2006, 14:28

Lazarus

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Zitat:

Also setzt ich die 1 nun in die Ausganggleichung ein, da kommt dann auch 0 raus ist ja eigenlich ganz logisch is ja ein Schnittpunkt mit der X-Achse gefragt!

so kann mans nicht sagen.
hier stimmt das zwar, aber allgemein gilt das sicher nicht.
wie ich weiter oben schonmal gesagt habe, bildet man eigentlich die abstandsfunktion a(x) die den abstand zweier verschiedener scharfunktionen zueinander angibt.
wenn dieser abstand null ist, gibts einen gemeinsamen schnittpunkt aller scharfunktionen, unanbhänig von k.
somit muss man die nullstellen von a bestimmen, die nicht zwingender weise nullstellen von f sein müssen.

hier ist es allerdings ausnahmsweise der fall.

zum grenzwert:
man bildet einfach nur $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f_k(x) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow 0} f_k(x) \end{eqnarray*}$ und kann das mithilfe der bekannten grenzwertrechenregeln relativ leicht lösen.

24.02.2006, 14:35

Milchshake

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Grenzwert ist genauso ein schwarzes Tuch für mich wie die restliche schwierigere MAthematik , liege im Klinsch mit meinem MAthelehrer und der hat mir das extra aufgebrummt. Bitte gib mir noch ein Denkanstöße, bin schon fast meine ganzen Ferien am verzweifeln an diesem zeugs traurig

traurig

24.02.2006, 15:05

Lazarus

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ist dir bekannt das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \end{eqnarray*}$ ist ?
zu zeigen wäre das mithilfe von lhospital.
analog dazu ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{n\ln{x}}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

\\edit: *brett vorm kopf wegnehm*
des geht natürlich auch direkt mit lhospital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\ln{x}}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{1}{\ln{x}} = 0 \end{eqnarray*}$

zum grenzwert gegen 0 gehts sogar nocht ein stück einfacher!

26.02.2006, 20:16

Milchshake

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LAos mit diesem hospital kom ich nicht zurecht, habe auch noch nie etwas davon gehört, kann es sein das es da noch eine andere Möglichkeit gibt?

28.02.2006, 06:26

Milchshake

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Hilft mir keiner mehr?? traurig

traurig

28.02.2006, 13:34

phi

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(Bitte keine Drängel-Posts, es wollen noch andere Hilfe und wir machen das hier für "umme".)

moin,

Bei mir lädt das Bild nicht, ich plotte es mal hier, vlt. kann ich dir noch helfen.

Also das 1 der gemeinsame Punkt ist sieht man sehr schön, und erklären tut sich das aus der Tatsache das

kurze Erklärung: ln(1)=-ln(1)=0 ist.

Ich les erstmal was ihr schon diskutiert habt.

Edit: Wenn du wie Lazarus empfohlen hat ln(x) ausklammerst wird der strenge Beweis eleganter (ohne Bedingungen ..)

Gesucht ist ein gemeinsamer Punkt P_x der die x-Achse trifft, das ist die logische Begründung warum wir die Abstandsfunktion auf Nullstellen prüfen.

$\begin{eqnarray*} -\frac{ln x}{k_1x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{lnx}{k_2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ln x}{k2x}-\frac{ln x}{k_1x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln x(k_1x-k_2x)=0 \end{eqnarray*}$ ,

da nach Voraussetzung k1 und k2 verschieden sind, kann der Ausdruck in Klammern nicht 0 sein. Also gilt

$\begin{eqnarray*} ln x=0 ~ \Rightarrow ~ x=e^0=1 \end{eqnarray*}$

mfg, phi

02.03.2006, 11:06

Milchshake

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Ja entschuldigung für den drängel post!! Vielen danka uch für deine Hilfe hab das jetzt soweit verstanden!

Nur mit den Grenzwerten noch nicht! So wie es aussieht müsst ihr lieben leute mir auch noch bei 1-2 anderen aufgaben zu dieser Augabe helfen, raff da manches nicht!
Aber dazu später, wenn ich das mit dem Grenzwerten gerafft hab!

PS: Mein bild funzt nun auch wieder!

02.03.2006, 11:12

Lazarus

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Was hast du denn mit den Grenzwerten genau nicht berstanden ?
evtl. mit ner Stellenangabe oder nem Zitat, damit man weiss wo man mit dem Erklären ansetzten muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.03.2006, 16:23

Milchshake

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Zitat:

Original von Lazarus
ist dir bekannt das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \end{eqnarray*}$ ist ?
zu zeigen wäre das mithilfe von lhospital.
analog dazu ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{n\ln{x}}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

\\edit: *brett vorm kopf wegnehm*
des geht natürlich auch direkt mit lhospital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\ln{x}}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{1}{\ln{x}} = 0 \end{eqnarray*}$

zum grenzwert gegen 0 gehts sogar nocht ein stück einfacher!

Das da! Da seh ich überhaupt nicht durch! Ist das schon die Grenzwertberechnung??

03.03.2006, 22:19

phi

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moin,

Falls du Abi machst, wirst du den L´Hospital früher oder später kennenlernen und brauchen. Es erleichtert den Umgang mit Grenzwerten enorm. Hier ein Link dazu:

[URL=http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L'Hospital]L'Hospital[/URL]

Du kannst dir das Grenzwertverhalten auch so klar machen : das was unterm Bruchstrich steht, also kx wächst wenn x immer grösser wird schneller als das was oben steht, also als der Logarithmus:

wie man sieht, sogar dann wenn k sehr klein ist, holt kx den ln(x) früher oder später ein, also überwiegt 1/x und dass 1/1000000 fast Null ist leuchtet doch ein, oder ?

Wenn x andererseits sehr, sehr klein wird, z.B

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}= \frac{1}{\frac{1}{100000} } =\frac{1}{1} \cdot \frac{100000}{1}=100000 \end{eqnarray*}$

(durch Bruch teilen --> mal den Kehrwert ! ) , wird y also sehr groß.

Wenn man nun sehr, sehr klein durch x-->0 ersetzt, bzw. sehr, sehr groß durch x-->Unendlich ersetzt , hat man die Grenzwerte.

Formal drückt man das durch das lateinische Wort "Limes" für Grenze aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} x \end{eqnarray*}$

mfg, phi

14.03.2006, 18:59

Milchshake

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Hallo, danke soeweit.

Hab noch eine Teilaufgabe die ich nicht hinbekomme!

Aufgabe:
Berechnen Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes und die des Wendepunktes $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$ . Begründen Sie, dass alle Extrempunkte $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ und alle Wendepunkte $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ auf je einer Parallelen zur y-Achse liegen und geben Sie die Gleichung dieser Parallelen an!

Also um WP und EP zu berechnen benötige ich doch die 1. und 2. Ableitung!?

Nur wie ist die erste??

Ist das eine VErknüfung von Qoutienten und Kettenregel???

14.03.2006, 19:22

phi

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moin, moin,

Es geht also noch um

$\begin{eqnarray*} f_k(x)= -\frac{1}{kx} \cdot \ln{x} \quad;\; x >0 \end{eqnarray*}$

Wenn du den Bruch als Potenz schreibst, brauchst du nur die Produktregel.

mfg, phi

15.03.2006, 18:54

Milchshake

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Also

ist $\begin{eqnarray*} f_k´(x)= kx^{-2} \cdot \ln{x}-kx^{-1} \cdot 1/x \end{eqnarray*}$

Oder habe ich da was falsch gemacht?

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