Unendlicher Abstieg

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xavier Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlicher Abstieg
Ich habe da mal so eine Frage, die mich brennend interessiert.

Man kann ja bekanntermaßen schon seit den Zeiten der alten Griechen beweisen,
dass >Wurzel aus zwei< nicht rational ist,

also dass es für die folgende Gleichung keine Lösung gibt:

2^(1/2) = p/q

Mit dem Widerspruchsbeweis findet man heraus,
dass p und q >nicht teilerfremd< sind
bzw. beide durch >zwei teilbar< sind.

Was aber hat das Ganze mit einem "unendlichen Abstieg" zu tun ?

Ich habe diesen Begriff schon irgendwo mal gehört, er bezieht sich so glaube ich darauf,

dass es für eine Aussage A(n) mit n e N stets ein >kleinstes n< geben muss, für die diese Aussage richtig ist, ansonsten ist sie falsch.
Oder so ähnlich...

Was aber bedeutet dies im Falle des obengenannten Beispiels mit >Wurzel aus zwei< ?

Ich meine der Widerspruch ist mir schon irgendwie klar, dass wenn es für 2^(1/2) keine teilerfremden Zahlen p q gibt, dass sich dann diese Zahl 2^(1/2) nicht als Bruch darstellen lässt und folglich nicht rational ist.

Aber ganz verstanden habe ich die Sache noch nicht.
Insbesonders kann ich in diesem Zusammenhang nichts mit dem Begriff "unendlicher Abstieg" anfangen.

Ich bin leicht verwirrt...
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Es heißt eigentlich nichts anderes als das du immer noch eine Stelle hinterm Komma mehr ausrechnen kannst und niemals haargenau die Wurzel aus 2 bestimmen kannst.
pimaniac Auf diesen Beitrag antworten »

sorry phi aber ich glaub hier ist mit unendlicher abstieg was anderes gemeint....

der Beweis geht normalerweise so:

man nimmt an dass

p/q=sqrt(2) mit p,q teilerfremd, das heißt es gibt keine kleineren p,q mit der eigenschaft.

Draus folgt nun

p^2=2*q^2

-> p^2 ist gerade --> p ist gerade --> q^2 ist durch 4 teilbar --> q ist gerade --> mit a=p/2 und b=q/2 gilt a/b=sqrt(2) mit a<p und b<q

Und genau das ist dieser unendliche Abstieg weil man ja jetzt wieder Zahlen konstruieren könnte die kleiner als a und b sind und für die wieder gilt dass der Quoient gleich sqrt (2) is.

Diese Beweisstrategie kann man auch als uendlichen ABstieg bezeichnen, erfolgreich wurde er übrigens auch bei Fermats letztem Satz für bestimmte n verwendet...
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, der Groschen ist gefallen, wieder was neues gelernt.

mfg
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