HM 2 Determinanten

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necro Auf diesen Beitrag antworten »
HM 2 Determinanten
Aufgabe 21:
Gegeben sei eine (n,n)-Matrix A mit A² -5A + E = 0, wobei E die
(n,n)-Einheits matrix ist.
Beweisen Sie, dass
(1) detA = 0 genau dann gilt, wenn det(A- E) = 0, (5 Punkte)
(2) 1 kein Eigenwert von A ist, (5 Punkte)
(3) A^-1 existiert und A^-1 in Abhängigkeit von A und E beschrieben werden kann.
Geben Sie diese Darstellung von A^-1 an. (8 Punkte)


also bei der (1) kann ich die eine Seite "=>" , von detA=0 zu det(A-E)=0 beweisen in dem ich
die Gleichung A²-5A+E=0 nach E umforme und dann in (1) einsetze. Mit der Bedingung folgt das schon sehr einfach.

Jedoch habe ich große Probleme bei "<=" , da ich det(A-E)=o=detA*det(A-4E) da ich daraus nicht gefolgert bekomme, dass detA=0 ist.

JETZT

dann gucke ich mir die (2) an und bin auf einmal völlig raus smile
da steht zeige dass 1 KEIN Eigenwert ist. Aber iwie ist det(A-E)=0 doch die Aussage, dass 1 ein Eigenwert ist.


Ich hoffe mir kann einer helfen.

MFG
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



necro Auf diesen Beitrag antworten »

vielen vielen dank!!!!

ich frag gar nicht erst wie man auf die todes-umformung kommt smile

Aber trotzdem bedeutet doch det(A-E)=0 dass 1 ein Eigenwert ist.
Wie soll man dann bitte den zweiten Teil lösen, wenn man im ersten das Gegenteil bewiesen hat.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hat man doch gar nicht. Man hat nur gezeigt, dass äquivalent ist zu . Aber wer sagt, dass das wirklich eintritt?! Um (2) zu zeigen, reicht es jetzt z.B. aus zu zeigen, dass immer gilt. Vielleicht war das der Sinn von (1).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, warum es auf (3) so viele Punkte gibt. Schließlich zeigt ja



bereits alles. Da somit invertierbar ist, kann 0 kein Eigenwert von sein, nach (1) also ebensowenig 1. Und damit ist auch (2) gezeigt.

Oder habe ich etwas übersehen? verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die ganze Aufgabe nicht so recht. Immerhin ist ein Vielfaches des Minimalpolynoms, womit als Eigenwerte höchstens und in Frage kommen (wenn ich mich nicht verrechnet habe). Damit hätte man fast alle drei Aufgaben auf einmal gelöst.

Wer weiß, was der Aufgabensteller für Lösungswege erwartet bzw. was er sich selbst für komplizierte Wege ausgedacht hat. verwirrt
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Ich verstehe die ganze Aufgabe nicht so recht.


So geht es mir auch. Wir wissen natürlich nicht, was necro an Vorwissen schon alles zur Verfügung steht, ob er also den Zusammenhang mit dem Minimalpolynom schon kennt ...
necro Auf diesen Beitrag antworten »

danke für eure hilfe!!!

habe vomminimalpolnom auch nie etwas gehört...und wurzel aus matrizzen ziehen ist mir auch irgendwie nicht so gehuer smile

aber ihr habt mmir zu 100% geholfen
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