Grenzwertbestimmung

26.02.2006, 22:28

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Grenzwertbestimmung

Hallo,

weiß nicht wie ich bei folgender Aufgabe anfangen soll:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{e^x-\frac{x^{2}}{2}-x-1 }{x-sinx} \end{eqnarray*}$

Soll da den Grenzwert bestimmen...

26.02.2006, 22:28

JochenX

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Satz von de l'Hôspital, sagt der dir was?

26.02.2006, 22:43

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gehört hab ichs mal, nur so richtig verstanden hab ichs net... kannst mir das vielleicht kurz klar machen wie man das da anwendet?

also woher seh ich überhaupt, dass ich das da anwenden muss?

26.02.2006, 22:54

JochenX

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http://de.wikipedia.org/wiki/Guillaume_F...de_L%27Hospital
da ist er kurz und knapp dargestellt

26.02.2006, 22:57

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hi
de L'hospital soll man anwenden, wenn es zu problemen bei grenzwertberechnungen kommen.
z.b.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{2x^2-4}{x^2+9} =\frac{\lim_{x \to \infty}2x^2-4}{\lim_{x \to \infty}x^2+9}=\frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$
diese schreibweise ist nicht zulässig, da unendlich durch unendlích ein unbestimmter ausdruck ist.
da gibs nun zwei lösungswege:
1)polynomdivison
2)de l'hospital
ich zeige variante 2)
da teilst du einfach mit dem größten x-potenz im nenner!!!
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{2x^2-4}{x^2+9}=\lim_{x \to \infty}\frac{2-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{9}{x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{x \to \infty}(2-\frac{2}{x^2})}{\lim_{x \to \infty}(1+\frac{9}{x^2})}=\frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

edit: de l'hospital bewährt sich bei e-funktionen

26.02.2006, 23:20

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hm ja. Aber bei meiner Aufgabe kann ich ja da nicht duch die x-potenz teilen... Muss ich dann da die Ableitung vom oberen und vom unteren machen?

26.02.2006, 23:51

aRo

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ja, du hast da ja im Prinzip $\begin{eqnarray*} \frac{0} {0} \end{eqnarray*}$ stehen, da ist der L'Hospital anwendbar.

Also leite Zähler und Nenner separat ab und guck dann nochmal Augenzwinkern

aRo

27.02.2006, 11:52

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Zitat:

Original von aRo
ja, du hast da ja im Prinzip $\begin{eqnarray*} \frac{0} {0} \end{eqnarray*}$ stehen, da ist der L'Hospital anwendbar.

Also leite Zähler und Nenner separat ab und guck dann nochmal Augenzwinkern

aRo

ja genau so musst du vorgehen. also vorsichtig. nicht die quotientenregel, sondern Zählerpolynom einzeln ableiten und nennerpolynom!

27.02.2006, 12:23

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ahja ok, werds dann mal rechnen und dann rein schreiben

27.02.2006, 12:28

system-agent

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Zitat:

Original von PG
2)de l'hospital
ich zeige variante 2)
da teilst du einfach mit dem größten x-potenz im nenner!!!
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{2x^2-4}{x^2+9}=\lim_{x \to \infty}\frac{2-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{9}{x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{x \to \infty}(2-\frac{2}{x^2})}{\lim_{x \to \infty}(1+\frac{9}{x^2})}=\frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

seit wann ist denn das die regel von de l'hospital?? du hast hier einfach nur die größte potenz ausgeklammert, aber die regel von de l'hospital besagt zähler und nenner ableiten....

gruß, system-agent

27.02.2006, 12:39

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jo da hab ich mich auch schon irgendwie gewundert... L´Hospital ist das ja nicht nur einfache Grenzwertbestimmung

27.02.2006, 13:12

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

sry, was sage ich denn da... aber es geht so mit de l'hospital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{2x^2-4}{x^2+9}=\lim_{x \to \infty}\frac{4x}{2x}=2 \end{eqnarray*}$

PS:gut dass du es entdeckt hast system-agent. vielleicht war ich noch zu müde LOL Hammer

27.02.2006, 13:45

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also abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-x-1}{1-cosx} \end{eqnarray*}$

wie krieg ich das e^x raus? Da kann ich ja keinen Grenzert machen...

bzw. ich hätte wieder 0/0, dann nochmal ableitung?

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{1+sinx} \end{eqnarray*}$

dann wär das 0/1

also geht das ganze $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{1+sinx}=0 \end{eqnarray*}$ ??

27.02.2006, 15:47

klarsoweit

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EDIT: Fast richtig. Siehe unten.

27.02.2006, 15:54

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L'Hospital auf $\begin{eqnarray*} \frac{e^x-x-1}{1-\cos x} \end{eqnarray*}$ angewandt ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{\sin x} \end{eqnarray*}$ !!! Also nochmal L'Hospital ...

27.02.2006, 15:59

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bin ich grad verpeilt... naja dann nochmal...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{cosx}=1 \end{eqnarray*}$

27.02.2006, 16:32

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Jetzt stimmt's. Freude

27.02.2006, 16:37

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frage mal dazu:
kann man das auch gegen $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ konvergieren lassen oder geht das net, wegen dem cosinus? mein taschenrechner zeigt andauernd error2

27.02.2006, 16:43

JochenX

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geht es um $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~\frac{e^x}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ ?
dieser Grenzwert existiert nicht.......

gegen was solls denn gehen? + oder - unendlich?
außerdem musst du auch gegen immer wieder auftretende Def-Lücken antreten

27.02.2006, 16:51

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ja das meint er, eigentlich müsste es ja dann gegen unendlich gehen, da der cos ja eigentlich nicht zunimmt sondern halt zw. -1 und 1 rumpendelt

27.02.2006, 17:06

JochenX

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dann könnte er aber auch gegen -unendlich gehen Augenzwinkern

am plot kann mans nicht gut sehen, aber vielleicht, er schwankt zwischen "+viel" und "-viel" mit Deflücken zwischendurch

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