Ist a o b = a+b - a*b eine Gruppe auf (R,o)???

27.02.2006, 14:57

ali-pali

Ist a o b = a+b - a*b eine Gruppe auf (R,o)???

hallo leute,

ich habe eine aufgabe von meinem lehrer bekommen:
Ist a o b = a+b - a*b eine Gruppe auf (R,o)?

eine gruppe muss ja mindestens 4 kriterien erfüllen.
die ersten beiden (abgeschlossenheit und assoziativgesetz) waren trivial zu zeigen und auch das gelten des kommutativgesetzes war einfach zu beweisen.
nur habe ich absout keine ahnung, wie ich zeigen kann, dass es ein neutrales element e auf (R,o) gibt und des weiteren dass ein inverses element existiert.

also bitte helft mir bei diesem problem! ich komm da einfach nicht weiter.
vielen dank schonmal im voraus!

mfg,
ali-pali

27.02.2006, 15:14

zeta

Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du sicher, dass es sich um eine Gruppe und nicht um einen Ring handeln soll? (Habe vielleicht gerade komische Anflüge, aber eine Gruppe ist doch eine Menge zusammen mit EINER Verknüpfung? Du hast doch Addition und Multiplikation?)

edit: vergiß es, vollkommen mißverstanden (siehe die unteren posts)

27.02.2006, 15:30

4c1d

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, es ist so gemeint, dass eine neue Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert wird.
Beachte, dass eine Gruppe nur die Eigenschaften Assoziativität und die Existenz von neutralem Element und Inversen erfüllen muss, d.h. es ist für die Aufgabe nicht nötig die Verknüpfung auf Kommutativität zu überprüfen.
Für das neutrale Element $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} a\circ e = a \end{eqnarray*}$ gelten. Einfach einsetzen und prüfen, ob es ein $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ gibt, sodass die Gleichung stimmt. Genauso für Inverse ( $\begin{eqnarray*} a \circ a^{-1} = e \end{eqnarray*}$ ), nachdem du $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ gefunden hast (oder gezeigt hast, dass es keins gibt, dann bist du fertig).

27.02.2006, 15:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Es muß wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus \{ 1 \} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißen.

Mit $\begin{eqnarray*} a \circ b = a+b - ab \end{eqnarray*}$ erhält man dann tatsächlich eine Gruppe. Um das neutrale Element $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ zu finden, könntest du $\begin{eqnarray*} e \circ 2 = 2 \end{eqnarray*}$ lösen. Weise nach, daß dann $\begin{eqnarray*} e \circ a = a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \setminus \{ 1 \} \end{eqnarray*}$ gilt. Und schließlich mußt du zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} a \circ a' = e \end{eqnarray*}$ .

27.02.2006, 15:35

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist a o b = a+b - a*b eine Gruppe auf (R,o)?

diese Formulierung ist ja auch falsch, kein Wunder, dass Zeta verwirrt war

Frage ist: Ist (R,o) eine Gruppe? dabei ist dann die Verknüpfung o definiert, wie oben steht.

wieso sollte die Verknüpfungsangabe selbst eine Gruppe sein und wieso "auf" (R,o)?

27.02.2006, 15:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Es muß wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus \{ 1 \} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißen.

Sehe ich natürlich auch so. Die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} 1-(a\circ b) = (1-a)\cdot (1-b) \end{eqnarray*}$ sollte zudem einiges im Nachweis erleichtern.

27.02.2006, 17:15

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Sehe ich natürlich auch so. Die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} 1-(a\circ b) = (1-a)\cdot (1-b) \end{eqnarray*}$ sollte zudem einiges im Nachweis erleichtern.

In welchem Nachweis? Die sind doch alle nicht sonderlich kompliziert verwirrt

27.02.2006, 17:20

Auf diesen Beitrag antworten »

Durch diese Bijektion $\begin{eqnarray*} x\mapsto 1-x \end{eqnarray*}$ hat man direkt eine Isomorphie zwischen $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}\setminus\{1\},\circ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot) \end{eqnarray*}$ . Und wenn man benutzen darf, dass letzteres eine Gruppe ist, ist man bereits fertig. Augenzwinkern

27.02.2006, 17:26

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ben Sisko
In welchem Nachweis? Die sind doch alle nicht sonderlich kompliziert verwirrt

Auch die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ ist hier keine Selbstverständlichkeit. Da hilft die Produktdarstellung $\begin{eqnarray*} -(1-a)(1-b) = a+b-ab-1 = a \circ b -1 \end{eqnarray*}$

27.02.2006, 17:44

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Da habt ihr allerdings beide Recht Freude

28.02.2006, 16:20

ali-pali

Auf diesen Beitrag antworten »

super, vielen dank für eure hilfe!
habe irgendwie falsch gedacht. jetzt leuchtet mir das alles auch endlich ein Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Ist a o b = a+b - a*b eine Gruppe auf (R,o)???

Verwandte Themen