Spiegelung einer Geraden

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Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelung einer Geraden
Hallo,

sitz hier grad vor einer klausuraufgabe, die ich nicht konnte und von der ich auch keine Berichtigung habe unglücklich .

Die Spiegelungsmatrix A = ist gegeben, ebenso die Gerade

g: = + s .

Die Gerade wird an einer Ursprungsgeraden gespiegelt. Dazu soll die Spiegelungsachse und das Bild der Geraden g' bestimmt werden.

Die Spiegelungsachse hab ich ausgerechnet, indem ich 1-m²/m²+1 = 0,88 gesetzt habe. Da kam raus y=1/4x.

Weiß nur leider nicht mehr, wie man eine Gerade spiegelt...Ist das so, dass ich nur den Ortsvektor als Punkt spiegeln muss und der Richtungsvektor bleibt erhalten?

Müsste ich so rechnen :

= * ?

Für die Spiegelungsmatrix würde ich dann A einsetzen und ich hätte den gespiegelten Punkt raus...aber halt keinen anderen Richtungsvektor.

Hoffe, mir kann jemand sagen, ob meine Vermutungen richtig sind, ist alles schon so lange her!
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Da ein Richtungsvektor im Grunde nichts anderes ist als eine Variable mal einen Ortsvektor ist, kannst du den genauso spiegel wie einen Ortsvektor.

Deine Spiegelungsachse kann nicht ganz stimmen, betrachte dazu die Spiegelung des Punktes (1,4) der weil senkrecht zu deiner Achse auf (-1,-4) abgebildet wird. Von A wird (1,4) aber auf (-0.88, -3.96) abgebildet.

Edit: Durch den Ursprung ist richtig, da es keinen Verschiebungsvektor gibt.

mfg, phi
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

kann es sein, dass die matrix nicht "stimmt"?
werner
phi Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

sie kann nicht stimmen : wenn man die Punkte (0,2), (1,1) und (2,0) die ja auf einer Geraden liegen, mit A "spiegelt" merkt man das A weder eine Achsen- noch eine Punktspiegelung ist.

Ein Vorzeichenfehler vielleicht?

mfg, phi
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich es richtig verstehe, ist sie - die matrix - nicht mit einer drehung konsistent?!

werner
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unterschied der Spiegelungsmatrix zur Drehmatrix ist der, dass deren Determinante -1 sein muss (jene der Drehmatrix ist +1). Die angegebene Spiegelungsmatrix ist KEINE, weil die Determinante weder 1 noch -1 ist (keine Kongruenzabbildung).

Es dürfte sich bei der Angabe um einen Schreibfehler handeln, oder sie ist zumindest ungenau.

Edit: Mit etwas "Bauchweh" (gerundet) ist die Determinante doch "fast" -1 (rechnerisch -0,968). Man sollte jedoch die Matrix exakt, also mit Brüchen angeben, andernfalls ist sie ungenau.

Gr
mYthos
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm...ich hab noch einmal nachgerechnet aber eine andere Spiegelungsachse bekomme ich nicht raus!

Also, ich kann wirklich einen Richtungsvektor genauso spiegeln wie einen Ortsvektor und das was raus kommt ist dann einfach mein neuer Richtungsvektor?
Kann mir das nicht so recht vorstellen, da ein Richtungsvektor ja kein Punkt ist aber naja, wenn's so ist, dann soll's so sein ;-)

Die Matrix stimmt, sie war gensuso in der Klausur angegeben, hab ich extra nochmal nachgeguckt! Schätze mal, dass 0,88 für *1/2 stehen soll und sie uns das nicht in Wurzelbrüchen angeben wollte, anders kann ich mir das jetzt auch nicht erklären^^
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Richtungsvektor (Spiegelung), betrachte die Gerade von f(x)=x. Ein Richtungsvektor von dieser ist z.B. r(1,1), d.h. also alle reellen Vielfache r des Punktes (Ortsvektors) (1,1) . Wenn du nun diesen Punkt samt aller reellen Vielfachen r an der y-Achse spiegelst, was kommt dabei heraus? Yep, es kommt haargenau die Gerade (0,0)+ r(1,-1) heraus, oder als Funktion geschrieben g(x)=-x




Zur Matrix A: Mit Wurzel aus 3 wäre es erst recht keine Spiegelungsmatrix, da die Determinante noch weiter weg von -1 wäre, nämlich -0.93 . Ich tippe eher auf ein Vorzeichenfehler.

So eklatant kann kein Lehrer sein, so eine Matrix "Spiegelung" zu nennen.

Multiplizier mal A mit den Punkten (0,2), (1,1) und (2,0) ... die Bilder fliegen kreuz und quer durch die Gegend, ergeben keine gerade sondern ein Dreieck.

keine Kongruenz also.

Vielleicht stimmt deine Rechnung ja sogar, aber mit der falschen Matrix...

mfg
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Zeichnung, ich hab's verstanden :-)!!

Gilt das denn nur für die Spiegelung an der y-Achse oder generell für die Spiegelung von Geraden?

Mhm...schon irgendwie komisch das mit der Matrix, sowas als Klausuraufgabe zu nehmen^^.

Also, mal angenommen, die Matrix wäre richtig und da würden andere Zahlen stehen, dann hätte ich jetzt einfach mal die Frage, ob mein Rechenweg stimmt smile

Um die Spiegelungsachse auszurechnen, muss ich doch einfach nur 1-m²/m²+1 = 0,88 rechnen oder aber auch 2m/m²+1 = -0,44. Ist das richtig?

Und für die Spiegelung der Geraden gilt dann ja = *

Da kommt für den neuen Ortsvektor dann raus

Und dann:
= *

Da kommt dann für den neuen Richtungsvektor raus.

Jetzt noch die Gerade bilden:

g:= +r

Stimmt das alles so vom Rechenweg her? Würd ich noch gern wissen, damit ich weiß wie die Aufgabe mit einer "richtigen" Matrix zu lösen ist Augenzwinkern
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist m, eine Steigung ?
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gibt diese allgemeine Spiegelungsformel, wo man die Steigung einsetzen kann:


Und wenn ich nun den Bruch oben links mit der 0,88 aus der Spiegelungsmatrix gleichsetze, bekomme ich einen Wert für die Steigung und hab somit die Spiegelungsgerade!
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Intressant, den kannte ich auch noch nicht. Wenn man den Bruch rechts oben mit -0.44 gleichsetzt kommt eine Steigung von -0.23 raus statt 0.253 .

Also wenn eure Steigungsmatrix da stimmt müsste auch dein Rechenweg stimmen. Zur Probe verwende diese "richtige" Spiegelungsmatrix S:



und prüfe ob für links oben und rechts oben die gleiche Steigung herauskommt.

mfg, phi
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die Steigung von oben links ist m= 0,27 und wenn man das für m oben rechts einsetzt, dann kommt 1/2 raus. Dann stimmt der Rechenweg schonmal.

Stimmt das auch, was ich mit der Geraden gemacht hab?
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte antworte mir mal jemand, ich muss das nächste Woche wissen smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bloomy,

du kannst über eine fast gleiche Problemstellung, die zufällig gestern behandelt wurde,

hier

etwas nachlesen. Prinzipiell gilt, dass in der Abbildungsgleichung, welche eine Matrix (-Vektor)Gleichung darstellt, die Eingangs(Vektor)Größe auf die Ausgangs(Vektor)Größe abgebildet wird.

Daher kannst du problemlos die gesamte Geradengleichung in Parameterform zeilenweise als Komponenten des Vektors einsetzen.

Gr
mYthos
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm...ich will ja aber nicht die Ursprungsgerade finden, sondern eine Gerade spiegeln...Und da wollte ich halt nur wissen, ob meine letzte Rechnung stimmt und ich das richtig verstanden habe Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist schon so richtig, das geht in beide Richtungen, also du kannst die Ursprungsgerade einsetzen und bekommst die Gerade der Abbildung!

Du hast - wie zu erkennen war - zuerst den Ortsvektor eingesetzt und diesen transferiert und danach den Richtungsvektor. Das ist korrekt!
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dann kann ich ja jetzt beruhigt weiterlernen Augenzwinkern . Danke
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