Rechtwinkliges Dreieck - Aussdrücken der Bestimmungsstücke durch zwei Gegebene

01.03.2006, 17:12

Lazarus

Rechtwinkliges Dreieck - Aussdrücken der Bestimmungsstücke durch zwei Gegebene

Hi Leute.
Geometrie ist nicht meine Stärke, und ich bin auch ein bisschen aus der Übung, und daher Zweifel ich an meiner Lösung.

Die Aufgabe ist, bei einem Rechtwinkligen Dreieck sämtliche Bestimmungsstücke (die Höhe h, Die Hypo. c, Die Kathete b, den Hypo.abschnitt p) durch die zwei Gegebenen Bestimmungsstücke (Die Kathete a und den Hypo.abschnitt q) auszudrücken.
a und q sind dabei nicht anliegend.

Ich bin folgendermaßen an die Sache rangeganngen:
$\begin{eqnarray*} c=q+p \; \rightarrow \; p=c-q \end{eqnarray*}$
Nach dem Kathetensatz ist $\begin{eqnarray*} a^2 = c\cdot p = c \cdot \left(c-q\right) \; \rightarrow c^2-qc-a^2=0 \end{eqnarray*}$
Ab da wirds dann viel Schreibarbeit, da ich nach Anwendung der Lösungsformel zwar rechnerisch schnell ans Ziel gekommen bin, allerdings vom Schreibtechnischen Gesichtspunkt her mehr gefordert wurde als mir lieb war.

Darum würde ich gerne wissen 1) ob das überhaupt vom vorgehen her stimmt (,mir fällt leider kein anderes ein) und 2) obs denn ein eleganteres gibt.

Servus

01.03.2006, 20:39

sqrt(2)

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Dein Vorgehen ist richtig. Eine elegantere Vorgehensweise sehe ich auch nicht...

02.03.2006, 11:27

Lazarus

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Versehentlich gelöscht - Shit. Hammer

Lazarus, kannst du das noch rekonstruieren? traurig

Hier stand irgendwas mit

$\begin{eqnarray*} c_{1,2} = \frac{1}{2}\,q \pm \frac{1}{2}\,\sqrt {{q}^{2}+4\,{a}^{2}} \end{eqnarray*}$

...

02.03.2006, 12:21

mYthos

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Die allgemeine Rechnung führt tatsächlich auf diese Ausdrücke. Ich denke, dass in der Aufgabenstellung jedoch a und p zahlenmäßig gegeben sind und daher die Rechnung konventionell durchgeführt werden kann.

Die zweite Lösung für c ist negativ und scheidet daher aus.

Beispiel zum Durchrechnen: a = 8; p = 3,6
-> q = 6,4; c = 10; b = 6; h = 4,8

Die Lösung quadr. Gleichung für c lautet dann:

$\begin{eqnarray*} c_{1,2} = 1,8 \pm 8,2 \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

02.03.2006, 14:30

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\,q-\frac{1}{2}\,\sqrt {{q}^{2}+4\,{a}^{2}} \end{eqnarray*}$ ist immer negativ - damit hat sich diese "Lösung" wohl erledigt...

@Lazarus

Ich Idiot habe statt auf Zitat bei deinem Beitrag oben auf "Edit" gedrückt und ihn damit gelöscht - kannst du ihn rekonstruieren? Ich kann mich nur vielmals bei dir entschuldigen!!! Gott

03.03.2006, 01:18

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich Idiot habe statt auf Zitat bei deinem Beitrag oben auf "Edit" gedrückt und ihn damit gelöscht - kannst du ihn rekonstruieren? Ich kann mich nur vielmals bei dir entschuldigen!!! Gott

Manchmal kann bei sowas der google-Cache helfen. Da die Zeit zwischen den Posts aber nicht so lang ist, war die Wahrscheinlichkeit eh gering, den Post dort zu finden.
Ich finde aber eh den kompletten Thread nicht bei google unglücklich

04.03.2006, 20:05

Lazarus

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@arthur: so schlimm isses ned.
ich hatte des eh alles von nem blatt abgeschrieben.

also quadratische gleichung in c:
c^2-qc-a^2=0

Lösen bekommt man: $\begin{eqnarray*} c= \frac{1}{2}\,q+\frac{1}{2}\,\sqrt {{q}^{2}+4\,{a}^{2}} \end{eqnarray*}$

Da c=p+q kann man nach p auflösen und erhält:
$\begin{eqnarray*} p=-\frac{1}{2}\,q+\frac{1}{2}\,\sqrt {{q}^{2}+4\,{a}^{2}} \end{eqnarray*}$

Nach dem Höhensatz im Dreieck kann man $\begin{eqnarray*} h^2=p\cdot q \end{eqnarray*}$ nun berechnen und erhält für $\begin{eqnarray*} h=\sqrt {-\frac{1}{2}\,q \left( q-\sqrt {{q}^{2}+4\,{a}^{2}} \right) } \end{eqnarray*}$

Wie gesagt isses ne (meiner meinung nach) überflüssige schreibarbeit die sozusagen auch unnötig ist...

@mythos: nein im vorliegenden beispiel isses ohne zahlenangaben, die das ganze enorm verkürzen würden...

danke euch Augenzwinkern

servus

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