Bestimme das Urbild der Gerade

01.03.2006, 22:15	tom22	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme das Urbild der Gerade Hi, wie löse ich folgende Aufgabe: Man hat eine affine Abbildung gegeben und eine Bildgerade. Jetzt soll man zur Bildgerade die Ursprungsgerade bestimmen (also die Gerade, mit der man, wenn man sie in die affine Abbildung einsetzt, die Bildgerade errechnet) Die affine Abildung ist ja: f(x)=x'=Ax+v (x ,x',v sind Vektoren) Ich habe mir gedacht die Bildgerade für dieses x' einzusetzen. Meine Frage: 1)Ist das korrekt? 2) Was muss ich für den Vektor x hinschreiben? Reicht da x1 und x2 (also die Komponenten) oder muss da eine allgemeine Gerade eingesetzt werden (wie z.B.: g:x=a+tu (wobei a Lagevektor und u Richtungsvektor ist)) Bitte um schnelle Antwort
02.03.2006, 00:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Es ist durchaus korrrekt, den "Funktionsvektor" $\begin{eqnarray} X' = (x_1'; x_2') \end{eqnarray}$ der Bildkurve anstelle des Vektors X' einzusetzen. Die Anführungszeichen deshalb, weil Kurven- und Bildkurvengleichungen in vektorieller Parameterform vorliegen sollten, was bei der Geraden ja der Fall ist. Um die Ursprungsgerade zu bestimmen, wird in dieser Gleichung komponentenweise nach dem Vektor $\begin{eqnarray} X = (x_1; x_2) \end{eqnarray}$ aufgelöst. Es liegt aber auch der Weg nahe, zuerst die Umkehrabbildung (durch Invertieren der Matrix A) zu bestimmen: $\begin{eqnarray} X' = A \cdot X + V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X' \cdot A^{-1} = E \cdot X + V \cdot A^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X = X' \cdot A^{-1} - V \cdot A^{-1} \end{eqnarray}$ In diese ist nun an Stelle von X' zeilenweise die Parameterform der Bildgeraden einzusetzen. Das Ergebnis dieser Verknüpfung ist dann die Ursprungsgerade. ********************* Beispiel: Gegeben sei die affine Abbildung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Bildgerade g' $\begin{eqnarray} X = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir ermitteln die Ursprungsgerade g durch direktes Einsetzen: $\begin{eqnarray} x'_1 = 3x_1 + 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x'_2 = 2x_2 - 2 \end{eqnarray}$ ------------------------- $\begin{eqnarray} 7 + 3r = 3x_1 + 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 + 2r = 2x_2 - 2 \end{eqnarray}$ ---------------------------- $\begin{eqnarray} x_1 = 1 + r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = 2 + r \end{eqnarray}$ ----------------- $\begin{eqnarray} X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ---------------------------------------- Mittels der inversen Abbildung $\begin{eqnarray} x_1 = \frac{x'_1}{3} - \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{x'_2}{2} + 1 \end{eqnarray}$ ------------------------- und Einsetzen für $\begin{eqnarray} x'_1 = 7 + 3r \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x'_2 = 2 + 2r \end{eqnarray}$ erhalten wir analog $\begin{eqnarray} x_1 = 1 + r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = 2 + r \end{eqnarray}$ °°°°°°°°°°° ... Gr mYthos

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