Dimension von Lösungsräumen

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knödelus Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension von Lösungsräumen
Hallo!

Wenn ich danach gefragt werde, was die Dimension von
L(A,B) ist, wobei A eine Matrix ist und B eine Spalte der richtigen Dimension.

Wie mache ich das am besten?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension von Lösungsräumen
Wofür soll das L denn stehen? den Lösungsraum von Ax=b? (Lineares Gleichungssystem)
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

ja, genau.

außerdem bin ich gerade verwirrt:
schaut euch mal bitte den Wikipedia artikel zu Rang(Mathematik) an. Da ist ein Beispiel, wo die Matrix den Rang 2 hat, aber alle 3 Spaltenvektoren l.u. sind. Ich dachte dim Zeilenraum = dim Spaltenraum = rang

Aber hat hier der Spaltenraum nicht dimension 3?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Link wiki mal.

Ansonsten, kommt es bei deiner FRage auf folgende 2 Teilfragen an. Hat A vollen Rang, dann ist b auf jeden Fall im Bild enthalten und es gibt genau 1 x als Lösung von Ax=b.

Hat A nicht vollen Rang, kann es passieren, dass b gar nicht im Bild liegt, dann gibt es keine Lösung.

Liegt b im Bild, dann gibt es unendlich viele Lösugnen.
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt, ich muss gucken, ob A vollen Rang hat oder nicht.

Wenn ja => Lösungsraum Dimension 1.

Wenn nein: b liegt nicht im Bild => LR Dim = ?
b liegt im Bild => LR Dim=?

Wie sieht denn dann genau die Dimension in den Fällen aus?


Hier ist der Link zu wikipeida:
http://de.wikipedia.org/wiki/Rang_%28Mathematik%29
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig

Leere Menge

Kommt darauf an.


Edit zu wiki:

Da ist doch eine Nullzeile im zweiten Fall, also sind die nicht alle l.u.
 
 
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

ja, die Zeilen sind nicht l.u. aber die Spalten doch schon?

Also hätte der Spaltenraum doch Dim=3, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Spalten sind auch nicht l.u.
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

wieso denn nicht?
verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bastel doch mal den dritten als kombination des ersten und zweiten.
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt.... Hammer

und die beste Methode um den Rang einer Matrix zu bestimmen ist, diese in Zeilenstufenform zu überführen und die Anzahl der nicht-0-Zeilen zu zählen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Matrix -> Auf Zeilenstufenform -> n - Anzahl der Nullzeilen = Rang.

Edit: bezieht sich auf Quadratische Matrizen
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

Und was genau bedeutet eigentlich voller Rang?
Dass keine Zeile Nullzeile wird bei der Zeilenstufenform nehme ich an.

Nehmen wir an, ich hätte die Matrix

die hat doch vollen Rang, oder? Wenn ich jetzt betrachte:

kann ich also sagen, dass das auf jeden Fall nur eine Lösung hat und deswegen die Dimension 1 sein muss?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Voller Rang = Die Matrix ist regulär (quadratisch). Ansonsten kann der Rang maximal dem Minimum von Zeilen und Spaltenzahl sein.

Dein A ist nicht quadratisch. Was soll mir das "oder" sagen? So scharf ist meine Brille auch nicht Big Laugh Wie sieht die Zeilenstufenform aus?
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

meine Zeilenstufenform ist nicht besonders schön, deswegen bin ich mir auch nicht so sicher, sie wäre:

Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Voller Rang = Die Matrix ist regulär (quadratisch). Ansonsten kann der Rang maximal dem Minimum von Zeilen und Spaltenzahl sein.


Da wär ich aber vorsichtig. Sehr viele (auch Dozenten) setzen das gleich mit "maximaler Rang".
Wenn du eine nichtquadratische -Matrix hast mit o.B.d.A. , dann hat die Matrix also vollen Rang, wenn er gleich n ist.
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir jemand bitte bei dem problem weiterhelfen, von der gegebenen Matrix und dem Vektor die Dimensions des Lösungsraums zu bestimmen?

Vielleicht ein allgemeines Vorgehen auch nochmal festhalten:

1. Ich bringe A auf Zeilenstufenform.
2. ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nutze die mathetools, wenn du nicht sicher bist, ich mag das jetzt nicht nachrechnen. Prost
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

die Zeilenstufenform stimmt, man kann nur noch die 2. mit 6 kürzen und die letzte Zeile mit 3.
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Also wir fragen uns ja, was die Dimension von ist, wenn A die Matrix bezeichnet, die ich auf voriger Seite in ZSF angegeben habe.

Wie geht das nun? Wenn ich jetzt x4 als Parameter t wähle, dann hätte ich ja eine Lösung alla . Ist dann die Dimension 1? Oder was?

Ich habe auch noch so ein Beispiel, was gut wär, wenn wir das danach auch durchgehen könnten.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn nur eine Nullzeile, und damit nur ein freier Parameter entsteht, ja dann dim(L)=1
knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn eine Nullzeile?
Die Matrix, die ich angegeben habe, hat doch keine Nullzeile...aber mehr Variablen als Gleichungen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Stell die dir Als quadratische Matrix vor. Augenzwinkern

knödelus Auf diesen Beitrag antworten »

aso smile
cool....jetzt haben wir allerdings ein Problem.

Denn auf einer Lösung von letztem Jahr, die mir zufällig vorliegt Augenzwinkern , hat nen Freund von mir "undefiniert" angekreuzt....kannst du dir auch nicht erklären?

Wann wäre sowas denn undefiniert?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll den undefiniert sein?
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