Lineare Abbildung - Eigenschaften |
| 08.06.2008, 18:27 | knödelus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lineare Abbildung - Eigenschaften Was für Eigenschaften haben eigentlich lineare Abbildungen genau? Betrachten wir - Bildet den Nullvektor von V auf Nullvektor von W ab. Was sonst noch? Kann ich sagen, dass sie l.u. Vektoren auch auf l.u. Vektoren abbildet? - Stimmt es, dass wenn ich eine Basis reinstecke auch wieder eine Basis rauskommt? Die Dinger heißen doch auch Homomorphismen, müssen also irgendwelche erhaltenden Eigenschaften besitzen. Vielleicht kann jemand mal ein paar aufzählen? [ModEdit: LaTex verbessert. mY+] |
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| 08.06.2008, 18:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Lineare Abbildung - Eigenschaften 1. Schaue in die Definition, dann ist erste Behauptung klar. 2. Ist falsch. Umgedreht wird ein Schuh draus. Urbilder von l.u. Vektoren sind l.u. 3. Nein, es kommt ein Erzeugendensystem raus (siehe 2) Schlag ein Lineares Algebra Buch auf, dann weißt Du was sich hinter den Namen verbirgt. Homo-, Endo, Auto, Iso .... |
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| 08.06.2008, 23:20 | knödelus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm... also ich habe hier nämlich zB die Frage: Sind v1 ungleich v2 zwei Elemente eines Vektorraums V und es gilt , dann ist (v1,v2) in V linear unabhängig. Wie kann ich das entscheiden? Ich kenne die Definition, aber mir ist noch nicht ganz klar, was dadurch erreicht wird, was das besondere an linearen Abbildungen ist. Und wie ich eben solche Fragen beantworten kann 
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| 08.06.2008, 23:24 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Denke doch mal an |
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| 08.06.2008, 23:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(*) mit zwei verschiedenen Vektoren (**) Was wissen wir dann über die beiden Vektoren? Nimm an, sie sind linear abhängig. Dann gilt . Mit der Defintiion der linearen Abbildung folgt: Es muss dann gelten a=1 (*), dann sind die Vektoren aber identisch, Widerspruch zu (**) Also sind sie linear unabhängig. |
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| 08.06.2008, 23:27 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eben nicht 
Man müsste noch fordern. |
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| 08.06.2008, 23:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt. Das ist mir in der Freude doch glatt entgangen. 
Edit: Kürzt ihr so defekt ab? |
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| 08.06.2008, 23:37 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe das so irgendwann mal gelesen und kürze das seitdem so ab. Ob das öfters so gemacht wird, weiß ich nicht.
Bei solchen Fragen ist es oft schon hilfreich, wenn man sich einfach mal ein paar Spezial- bzw. Extremfälle vornimmt, wie z.b. die Abbildung, die alles auf den Nullvektor abbildet. (was hier ja die Aufgabe sofort erschlägt). Wenn du also gar keine Vorstellung hast wie du an die Aufgabe rangehen sollst, kannst du diese durch Beispiele gewinnen
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| 08.06.2008, 23:45 | knödelus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
moment, moment! wieso genau muss ich def(phi)=0 fordern. Das bedeutet, dass die Dimension des Kerns von Phi 0 ist, richtig? Also dass nur der Nullvektor auf 0 abbgebildet wird. Wenn dem nicht so wäre, dann könnte die Abbildung v1 und v2 auf 0 abbilden und a würde keine Rolle mehr spielen? |
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| 08.06.2008, 23:48 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. Und vor allem ist dann auch gesichert, dass es ein mit gibt. Da v und 0 linear abhängig sind, stimmt die Behauptung also nicht. |
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| 08.06.2008, 23:54 | knödelus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ähm...ich dachte genau dann gibt es eben kein v ungleich 0, dass auf 0 abgebildet wird (wenn ich den defekt=0 setze) 
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