beweis von funktionsbildern

02.03.2006, 14:23

lego

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beweis von funktionsbildern

hallo, wir haben eigentlich in stochastik aufgaben bekommen. wir haben mit stochastik erst angefangen, deshalb sind es aufgaben, die eigentlich keine richtigen stochastikaufgaben sind, deshalb hier rein. ich bin ein wenig eingerostet in sachen beweise der art, deswegen bitte ich euch um hilfe.

Seien $\begin{eqnarray*} f:A->B \end{eqnarray*}$ und seien $\begin{eqnarray*} C_1,C_2\subseteq A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_1,D_2\subseteq B \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie:

a) $\begin{eqnarray*} f(C_1\cap C_2)\subseteq f(C_1)\cap(C_2) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} f^{-1}(D_1\cap D_2)= f^{-1}(D_1)\cap f^{-1}(D_2) \end{eqnarray*}$

wenn mir wer sagt, wie ich vereinigung und teilmenge schreibe, wär das sehr net, bin nicht so der latex-spezialist.

wie geh ich denn an so eine aufgabe ran?

02.03.2006, 14:29

Calvin

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RE: beweis von funktionsbildern

Zitat:

Original von lego
wenn mir wer sagt, wie ich vereinigung und teilmenge schreibe, wär das sehr net, bin nicht so der latex-spezialist.

\cup ergibt $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$
\bigcup ergibt $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$
\subseteq ergibt $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$

Mehr unter http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

02.03.2006, 14:32

lego

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danke für den link, bin draufgekommen, dass ich eigentlich den schnitt wollte^^

02.03.2006, 15:31

00fix der WC-reiniger

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RE: beweis von funktionsbildern
Im Grunde nimmst du nur ein unbestimmtes Element x aus der Menge $\begin{eqnarray*} f(C_1/cap C_2) \end{eqnarray*}$ und zeigst, daß dieses Element ebenfalls
in den Mengen $\begin{eqnarray*} f(C_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(C_2) \end{eqnarray*}$ liegt.

b) geht dann analog

02.03.2006, 15:36

lego

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ah, ich hab gerade ein beispiel gemacht wo ich folgendes in ähnlicher ausführung gemacht habe:

ich habe 4 fälle unterschieden, wo x liegen kann.

in c1 und nicht c2
nicht in c1 und in c2
in c1 un in c2
in keinem von beiden

dann hab ich gezeigt, dass links und rechts des =-zeichens das selbe steht. bei dem anderen beispiel wars etwas enfacher, weil ich bestimmte funktionswerte hatt, aber soll das hier genauso gehen?

edit: hm hier hab ich den durchschnitt, wird wohl etwas anders sein

02.03.2006, 15:47

lego

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ich hätts so gemacht, bin mir aber nicht ganz sicher ob ich da richtig liege:

ich wähle x element von C1 und element von C2 beliebig. f(x) ist dann element von f(C1+C2)

dann ist f(x) element von f(C1)
und f(x) element von f(C2)

somit ist f(x) element von f(C1)+f(C2)

sry für die ungenaue schreibweise, ich hoffe ihr wisst was gemeint ist, aber mit latex brauch ich da jahre^^

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06.03.2006, 14:32

lego

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hoch damit

stimmt das in etwa?

06.03.2006, 16:42

irre.flexiv

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Fast. Bis jetzt hast du gezeigt:

$\begin{eqnarray*} x \in C_1 \cap C_2 \Rightarrow f(x) \in f(C_1 \cap C_2) \quad \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \quad x \in C_1 \cap C_2 \Rightarrow f(x) \in f(C_1) \cap f(C_2) \end{eqnarray*}$

Eigentlich musst du aber was anderes zeigen, fange mit dem Beweis so an wie wc-reiniger es beschrieben hat.

06.03.2006, 17:26

lego

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ok, ich habs nochmal durchdacht, ich versuchs mal so:

$\begin{eqnarray*} f(x)\in f(C_1 \cap C_2) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in (C_1 \cap C_2) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in C_1 \land x \in C_2 \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) \in f(C_1) \land f(x) \in f(C_2) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) \in f(C_1) \cap f(C_2) \end{eqnarray*}$

06.03.2006, 18:25

irre.flexiv

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Das ist ok. Aber dir sollte klar sein das du bei der ersten Implikation nur auf die Existenz von x schließen kannst
weil f(x) im Bild von $\begin{eqnarray*} C_1 \cap C_2 \end{eqnarray*}$ liegt.

Um ganz sicher zu gehen würde ich es so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} y \in f(C_1 \cap C_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists x \in C_1 \cap C_2: f(x) = y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in C_1 \wedge x \in C_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) \in f(C_1) \wedge f(x) \in f(C_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) \in f(C_1) \cap f(C_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y \in f(C_1) \cap f(C_2) \end{eqnarray*}$

06.03.2006, 18:48

lego

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ok, danke, ich versuch jetzt mal den 2ten teil, falls du nochmal hier reinschaust, wäre es tolle, wenn du dir das noch ansehen würdest, natürlich darf sonst auch jeder

edit: ich hab bei der aufgabenstellung zu b noch was ausgebessert vorher war $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ statt =

06.03.2006, 19:19

lego

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b) ist meiner meinung nach eigentlich ziemlich ähnlich

$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(D_1 \cap D_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x) \in f(C_1 \cap C_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in (C_1 \cap C_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in C_1 \land x \in C_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x) \in f(C_1) \land f(x) \in f(C_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x) \in f(C_1) \cap f(C_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in f^{-1}(D_1) \cap f^{-1}(D_2) \end{eqnarray*}$

ich hab mal pfeil in beide richtungen gemacht, weil ich nicht sehe, wo es nicht passen würde, das könnte man dann aber bei a doch auch machen oder?

06.03.2006, 19:22

irre.flexiv

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uiuiui was haben die C's da verloren?

06.03.2006, 19:29

lego

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die Cs sind aus dem definitionsbereich, die Ds sind aus dem wertebereich

06.03.2006, 19:32

irre.flexiv

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Das ist mir klar, was ich meinte war: Was haben die C's in deinem Beweis zu suchen?
In der Aufgabenstellung kommen sie jedenfalls nicht vor..

06.03.2006, 19:39

lego

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eigentlich schon, es sind teilmengen der wertemenge

und wenn ich von einem urbild zurückschließe auf das bild der funktion dann muss ich doch eine teilmenge des definitionsbereich nehmen oder?

ok, es sind im allgemeinen nicht die Cs, die in der angabestellung vorkommen, es sind die urbilder der Ds damit gemeint

06.03.2006, 19:47

irre.flexiv

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Zitat:

und wenn ich von einem urbild zurückschließe auf das bild der funktion dann muss ich doch eine teilmenge des definitionsbereich nehmen oder?

Du bringst ein bischen was durcheinander. Das Urbild einer Teilmenge des Wertebereichs ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs. Hier ist z.B. $\begin{eqnarray*} f^{-1}(D_1) \end{eqnarray*}$ Teilmenge des Definitionsbereichs von f.
Und da C_1, C_2, D_1 und D_2 beliebig sind muss nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(D_1) = C_1 \end{eqnarray*}$ oder ähnliches gelten!

06.03.2006, 19:48

lego

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$\begin{eqnarray*} f^{-1}(D_1) = C_1 \end{eqnarray*}$

kann ich das nicht so definieren?

bzw, ich nenns halt nicht $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ , um keine verwirrung zu stiften, sondern $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$

06.03.2006, 19:54

irre.flexiv

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Jop das kannst du machen, aber es macht den Beweis nicht unbedingt lesbarer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und dein Beweis bleibt leider falsch auch wenn ich jetzt weiß wie du das gemeint hast.

06.03.2006, 19:56

lego

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hm, schade traurig

traurig

hab nämlich grad keine andere idee

06.03.2006, 20:17

irre.flexiv

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$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(D_1 \cap D_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) \in f(f^{-1}(D_1 \cap D_2)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) \in D_1 \cap D_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) \in D_1 \wedge f(x) \in D_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(f(x)) \in f^{-1}(D_1) \wedge f^{-1}(f(x)) \in f^{-1}(D_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in f^{-1}(D_1) \wedge x \in f^{-1}(D_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in f^{-1}(D_1) \cap f^{-1}(D_2) \end{eqnarray*}$

Damit haben wir schonmal $\begin{eqnarray*} f^{-1}(D_1 \cap D_2) \subseteq f^{-1}(D_1) \cap f^{-1}(D_2) \end{eqnarray*}$ gezeigt.
Jetzt muss du dir noch überlegen ob die Implikationen sogar Biimplikationen sind, also ob der Beweis auch rüchwärts funktioniert.

06.03.2006, 20:26

lego

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also für mich sieht es so aus, als würde der beweis auch rückwärts funktionieren, aber bei solchen sachen bin ich mir oft nicht sicher, ich glaube auch immer noch, dass a) auch rückwärts funktioniert

06.03.2006, 20:58

irre.flexiv

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Ja hier klappt es auch umgekehrt. Oft gehts leichter wenn man mit Mengendiagrammen arbeitet.
a) allerdings funktioniert nicht rückwärts, überleg mal was passiert wenn $\begin{eqnarray*} C_1 \cap C_2 = \{\} \end{eqnarray*}$

06.03.2006, 21:18

lego

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hm, muss ich mir noch überlegen, aber vielmehr interessiert mich momentan, ob ich einfach

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray*}$ annehmen kann.

bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ funktioniert das ja nicht eindeutig oder?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=\pm x \end{eqnarray*}$

06.03.2006, 21:49

irre.flexiv

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Zitat:

.. aber vielmehr interessiert mich momentan, ob ich einfach f^{-1}(f(x))=x annehmen kann.

Gutes Auge *g

Unter Umständen ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) \end{eqnarray*}$ eine Menge. Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) \in f^{-1}(D_1) \end{eqnarray*}$ wäre dann natürlich nicht richtig. Ich hab das nur zum besseren Verständnis mit reingenommen. Wichtig ist aber das x Element dieser Menge ist. Deshalb kann man auch von $\begin{eqnarray*} f(x) \in D_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(D_1) \end{eqnarray*}$ schließen.

Zitat:

bei \sqrt{x} funktioniert das ja nicht eindeutig oder?

Da muss ich dich entäuschen, $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist eindeutig definiert smile

smile

Aber ich weiß wie du es meinst, wenn z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = x² \end{eqnarray*}$ ist dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} (x) \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig.

06.03.2006, 22:06

lego

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ja ich meinte es eigentlich umgekehrt. ok, also lasse ich die schreibweise $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) \end{eqnarray*}$ lieber weg, sollte ich bei dem beispiel drankommen. dann nehm ich nur x an den stellen.

danke für die hilfe, wirklich toll.

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