! (Fakultät) |
| 05.05.2004, 20:59 | frischmilch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ! (Fakultät) Fakultät kam zwar in der 10. Klasse Algebra, ist aber wohl auch höhere Mathematik. Deswegen halt in diesem Thema. Warum ist ? Mein Mathehrer erklärte mir heute mit einem Stirnrunzeln (13. klasse), dass man das halt mal so definiert hat. Tja nun, witz. Warum kann ich das nicht sonst irgendwo anwenden. Ich wüsste einige Problemstellungen aus der Oberstufe, wo man froh darum wäre (). Und kann mir vielleicht jemand ansatzweise das Wesen der Fakultät beschreiben. Ich weiss nmlich nur das ist. Vielen Dank, Johannes. |
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| 05.05.2004, 21:17 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man hat es so definiert, weil es sinnvoll ist: Wieviele Reihenfolgen gibt es 5 verschiedenfarbige Socken nebeneinander hinzulegen? Antwort: 120=5! Wieviele Reihenfolgen gibt es 0 verschiedenfarbige Socken nebeneinander hinzulegen? Antwort: 1= 0! Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus einer Trommel mit 5 unterschiedlich gefärbten Socken, keine Socke zu ziehen? Anwort: 5 über 0 = 5!/(5!*0!) = 1. Ausserdem ist 5! nicht 4*3*2*1, sondern 5*4*3*2*1. 
Und was willst du sonst irgendwo anwenden? Auch die Oberstufe wird nicht unglücklicher mit 0!=1. |
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| 05.05.2004, 21:29 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ! (Fakultät) Naja, also ich würd sagen, 5! ist folgendes:
Was meinst du denn damit? Ich kann dir dazu erstmal nur sagen: Ich geb dir mal eine einfache Anwendung von Fakultäten: Wenn du z.B. verschiedenfarbige Stühle hast, dann kannst du die ja in vielen Reihenfolgen aufstellen, wenn du jeden dieser Stühle genau einmal pro Aufstellen einer Reihenfolge benutzt. Bsp.: Du hast einen roten, einen grünen, einen blauen und einen gelben Stuhl. Dann gibt es z.B. die Reihenfolge "rot, gelb, blau, grün". Es gibt aber noch mehr. Die lassen sich berechnen mit D.h. allgemein, wenn man 4 verschiedenfarbige hat, so kann man 4! (also 24) verschiedene Reihenfolgen der Farben aufstellen, wenn man jeden Stuhl pro Reihenfolge genau 1mal benutzt. Noch allgemeiner: Wenn man n verschiedenfarbige Stühle hat, so kann man n! verschiedene Reihenfolgen aufstellen, wenn man jeden Stuhl pro Reihenfolge jeweils genau 1mal benutzt. Fakultäten braucht man auch für Binomialkoeffizienten und somit auch für die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es gibt auch noch weitere Anwendungen, die weiß ich aber nicht alle. ----------------------------------------------------------------Edit---------------------------------------------------------- Irrlicht war mal wieder schneller. |
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| 05.05.2004, 21:42 | frischmilch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: ! (Fakultät)
Grr, danke, das hab ich auch gemerkt. Wir haben Fakultät wirklich nur sehr sehr sehr (...) randförmig (was ist das?) betrachtet. Also nur ein bisschen bei Wahrscheinlichkeit und unsere LehrerIN meinte damals: "... Und deswegen schreiben wir da einfach ein Ausrufezeichen hin und das bedeutet Fakultät. Ihr rechnet dafür einfach ..." sowas allgemeines haben wir nie gemacht. wenn ich noch 16 wär könnt ich mir das so wie mathespezialschüler nich erklären (auch heute net
, aber ich kanns nachvollziehen)Binomialkoeffizienten haben wir auch nicht "gehabt" bzw. mal wieder nicht unter der Bezeichnung (sagt mir nämlich nix). Zu der Frage nach dem Wesen des !: Ich finde es einfach sehr eigenartig. Es ist somit der komischte Operand den ich kenne und wollte mich endlich mal dafür interessieren (jetzt, wo ich ja bald mein abi rum hab
)Grüße, Johannes. |
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| 06.05.2004, 14:33 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ! (Fakultät) Ich zeig dir mal einen noch komischeren, den du aber in der Schule nicht brauchen wirst: Seien a und b natuerliche Zahlen. Es ist a*b = a + a + ... + a, mit b Summanden. Es ist a^b = a * a * ... * a, mit b Faktoren. Und nun: Es sei a^^b = a ^ (a ^ (...(a ^ a)...)), mit a Zahlen. Damit ist z.B. 3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7625597484987. Man kann das weiterspinnen: a^^^b = a ^^ (a ^^ ... (a ^^ a) ... ), mit b Zahlen. Damit ist z.B. 3^^^3 = 3 ^^ (3 ^^ 3) = 3 ^^ (3^27) = 3 ^ (3 ....) - mit 3^27 Zahlen. :P Die Zahlen werden offenbar sehr viel schneller gross als die Fakultaet... Auf diese und aehnliche Weise wurden die groessten natuerlichen Zahlen angegeben, die jemals in mathematischen Beweisen auftraten. Gruss, SirJective |
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| 06.05.2004, 15:18 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@SirJective: ist das, was du da angibst, nicht sowas ähnliches wie die ackermannfunktion? |
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| 06.05.2004, 15:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Lehrer hat recht ("... und deswegen schreiben wir da einfach ein Ausrufezeichen hin ..."), denn wo kein Geheimnis dahinter ist, sollte man auch kein Geheimnis daraus machen. Die Fakultät ist einfach ein Produkt einer bestimmten Art, für die man eine Abkürzung einführt. Daß dir das Ausrufezeichen als Operator (nicht "Operand"!) merkwürdig vorkommt, liegt vielleicht daran, daß es dir relativ spät begegnet ist. Hätte vielleicht dein Grundschullehrer der 3. Klasse dir schon die Fakultät beigebracht, würde es dir als das Normalste der Welt vorkommen. Auch sonst treten doch in der Mathematik Zeichen aus der Schriftsprache auf: das Komma und der Punkt als Trennzeichen, z.B. bei Dezimalzahlen oder Tupeln, der Punkt auch als Operatorzeichen (z.B. bei der Differentiation), der Apostroph zur Bezeichnung einer Abbildung (z.B. P' Bildpunkt von P) oder zur Bezeichnung der Differentiation, der Doppelpunkt für die Division. Und die Liste ließe sich (fast) beliebig fortsetzen. Gründe, warum man 0!=1 definiert, hat Irrlicht schon genannt. In der Mathematik hat man oft die Situation, eine Definition von einem ursprünglichen Gültigkeitsbereich auf einen größeren auszudehnen. Dabei läßt man sich davon leiten, daß bislang gültige Regeln auch bei der Erweiterung ihre Gültigkeit behalten sollen (Permanenzprinzip). Für die Fakultät hat man 5! = 1·2·3·4·5 4! = 1·2·3·4 3! = 1·2·3 2! = 1·2 Man stellt fest, daß man, um von einer Zeile zur nächsten zu gelangen, der Reihe nach durch 5, dann durch 4, dann durch 3 zu dividieren hat. Dabei verringert sich der Operand (also die Zahl vor "!", auf die der Operator "!" angewendet wird) jeweils um 1. Setzt man dies konsequent fort, muß man für die nächste Zeile durch 2 teilen und erhält 1! = 1 und das, obwohl ein Produkt aus einem Faktor eigentlich keinen Sinn mehr macht. Um zur nächsten Zeile zu kommen, teilt man dann durch 1, also 0! = 1 und auch hier macht die ursprüngliche Definition als ein Produkt aus 0 Faktoren keinen Sinn mehr. Dennoch hat man die einmal erkannte Regel sinnvoll fortgesetzt. Wie müßte man jetzt eigentlich (-1)! definieren? Und warum hast du das noch in keinem Buch gefunden? |
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| 06.05.2004, 16:07 | frischmilch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank erstmal für die Ausführliche erklärung, danach habe ich gesucht :-) hm... (-1)! wäre ja nach der regel von oben: (-1)! = 1 / 0 nunja, ich kann mir leider nichts genaues unter einem (-1)! vorstellen. und bevor ich jetzt mal meinen taschenrechner raussuche und ausprobiere würd ich vielleicht eine eigene herleitung starten. ich mach dann ma
(-5)! = -5 * -4 * -3 * -2 * -1 = -120 (-4)! = -4 * -3 * -2 * -1 = 24 (-3)! = -3 * -2 * -1 = -6 (-2)! = -2 * -1 = 2 (-1)! = -1 (-0)! = -1 interessant find ich dass es alterniert (darf man das hier sagen?) :-) kommt mir zwar recht intelligent vor, allerdings ärgert mich jetzt zerreisst mich :-) |
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| 06.05.2004, 16:22 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaube mal, bei sowas wird dich jeder Mathematiker zerreissen:
Die oberste Zeile ist wohl sinnlos 
Und unten, also das -5! bis -0! glaub ich nicht... vor allem gibt es kein -0 mMn mfg |
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| 06.05.2004, 16:55 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Endliche Fakultäten für negative Zahlen gehen nicht. Allerdings lässt sich der Fakultätsbegriff durchaus auf bel. reelle Zahlen ausdehnen: mit der Eulerschen Gamma-Funktion. Damit erhält man z.B. (-1/2)!=Gamma(1/2)=sqrt(pi) und für ganzzahliges negatives x, dass x!=+- oo. Weiter Liebe Grüße Mario |
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| 06.05.2004, 17:20 | frischmilch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tut mir ja leid
woher soll man das als baden-württemberg-abiturient denn wissen? (mit -0 wollte ich nur zeigen "aus welcher richtung" ich mich der 0 näherte) |
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| 07.05.2004, 01:18 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man bemerke den Unterschied . Wenn man x! will, mus man (x+1) in die Gamma-Funktion einsetzen. Gruß vom Ben PS: Ausdrucksweise: "Die Gamma-Funktion interpoliert die Fakultät!" |
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| 07.05.2004, 15:16 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Funktion kann man besser darstellen, wenn man diese Schreibweise hat. Allerdings braucht man zur kompletten Darstellung eine weitere Schreibweise: die Pfeilschreibweise. a -> b -> c := a ^^ ... ^^ b, mit c mal "^". Du möchtest gar nicht wissen, wie groß z.B. 3 -> 3 -> 10 ist.
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