Abstand in einer Pyramide

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05.03.2006, 12:41	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand in einer Pyramide Hi, also, ich hab hier eine Aufgabe und sogar den Lösungsweg, leider versteh ich den irgendwie überhaupt nicht...hatte den damals nur einfach von der Tafel abgeschrieben. Ich schreib den mal hier hin, vielleicht kann mir ja wer helfen! Die Aufgabe lautet: Eine senkrechte quadratische Pyramide ist 8m hoch, ihre Grundseite ist 4m lang. Bestimmen Sie einen Punkt P im Inneren der Pyramide, der von den vier Grundseiten der Pyramide den gleichen Abstand hat und von der Grundfläche doppelt so weit entfernt ist wie von einer Seitenfläche. Hab die Pyramide in ein Koordinatensystem eingezeichnet und folgende Punkte: A(0,0,0) B(4,0,0) C(4,4,0) D(0,4,0) E(2,2,8) Der gesuchte Punkt ist P (2,2,t) und die Gerade auf der der Punkt liegt, ist die Höhe der Pyramide, also: h: $\begin{eqnarray} \vec{x} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Ebenengleichung des Bodens lautet E: $\begin{eqnarray} \vec{x} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 4\\0 \\0 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 0\\4 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Ebenengleichung der Seitenfläche ADE: E: $\begin{eqnarray} \vec{x} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +w\begin{pmatrix} 2\\2\\8\end{pmatrix}+u \begin{pmatrix} 0\\4 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bis dahin versteh ich sogar noch alles aber jetzt schreib ich einfach mal wortwörtlich ab, was da auf meinem Zettel steht: E(B): $\begin{eqnarray} \vec{h} \end{eqnarray}$ auf E(B) $\begin{eqnarray} \vec{n} =\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nehme mal an, das soll einfach heißen, dass der Normalenvektor von E(B) bestimmt wurde^^ Dann wurde irgendein Abstand bestimmt, wovon auch immer? d= $\begin{eqnarray} \mid[\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\2 \\ t \end{pmatrix}]\times \begin{pmatrix}0 \\0 \\1\end{pmatrix}\mid \end{eqnarray}$ =2d Nehme mal an, dass soll der Abstand von irgendeiner der beiden Ebenen zum Punkt P sein...aber was hab ich davon, wenn ich den ausrechne und was macht überhaupt das 2d da? Hm.... Auf jeden Fall wird die Abstandsformel dann aufgelöst, dann steht da: $\begin{eqnarray} \mid -t \mid \end{eqnarray}$ =2d <=> t=2d , t=-2d Jetzt hab ich t...aber wie kommt man darauf, das so auszurechnen? Erkenn da mal irgendwie gar nix aus meiner Skizze...würd da in der Klausur nie im Leben drauf kommen und ich blick da auch jetzt nicht durch. Was wurd da gemacht? So geht's weiter: E(S): $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ auf E(S); $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}-4 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mid\vec{n} \mid =\sqrt{17} \end{eqnarray}$ Also, hier wurd anscheinend der Normalenvektor von E(S) berechnet, damit man irgendeinen weiteren Abstand ausrechnen kann: d= $\begin{eqnarray} \mid[\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\2 \\ t \end{pmatrix}]\times \begin{pmatrix}-4\\0 \\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{17}} \mid \end{eqnarray}$ =1d <=> $\begin{eqnarray} \mid \frac{8-t}{\sqrt{17}} \mid \end{eqnarray}$ =d <=>8-t = $\begin{eqnarray} \sqrt{17} \end{eqnarray}$ d , 8-t=- $\begin{eqnarray} \sqrt{17} \end{eqnarray}$ d 1.) t=2d: 8-2d= $\begin{eqnarray} \sqrt{17} \end{eqnarray}$ d, 8-2d =- $\begin{eqnarray} \sqrt{17} \end{eqnarray*}$ d <=> d=1,307 und d= -3,77 2.) s.o. t=2,614 P(2;2;2,614) Find das sowas von kompliziert, ich versteh einfach nicht, wie man auf diesen blöden Punkt kommt....gibt's da nicht was einfacheres, was man so halbwegs nachvollziehen kann?
05.03.2006, 13:32	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand in einer Pyramide ich weiß nicht, ob es klarer ist, aber VIEL einfacher. 1) wenn der abstand von der grundfläche (xy-ebene) der doppelte des abstandes d von dem von einer seitenflache ist, hat der punkt P hat die koordinaten P(2/2/2d). die ebene durch ABE lautet E: -4x + z = 0, am einfachsten mit dem ex-produkt der beiden vektoren AB und AE. 2) in die HNF einsetzen: $\begin{eqnarray} \frac{-4y+z}{\sqrt{17}}=0\Rightarrow \frac{-8+2d}{\sqrt{17}}=\pm d\Rightarrow d=\frac{8}{2+\sqrt{17}}=1.3065 \end{eqnarray}$ (d2 = -3.7681) werner
05.03.2006, 13:40	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhm HNF...ist das die Hesseform? Was ist denn ein ex-produkt? Versteh nicht ganz, wie du von der Koordinatenform auf das kommst, was du eingesetzt hast...
05.03.2006, 14:08	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
HNF hessesche normalform exprodukt = vektorprodukt, dient (hier) zur berechnung des normalenvektors der ebene E durch O(0/0/0): $\begin{eqnarray} \vec{n} =\vec{AE} \times \vec{AB} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\- 4\\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \text{ E: }-4y+z=0 \end{eqnarray}$ die HNF = "normierte koordinatenform" und wenn du in diie HNF die koordinaten eines punktes einsetzt, hast du dessen abstand von der ebene. oder kennst du die hnf nicht? werner
05.03.2006, 14:11	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. Das dürfen wir leider in der Klasur nicht benutzen, aber ich kann den Normalenvektor ja auch naders ausrechnen und so die Koordinatenform bilden! Die hnf ist doch d= x *en...aber ich dachte, damit kann man nur Abstände vom Ursprung bis zur Ebene ausrechnen. Scheint ja auch so zu gehen Probier das mal eben aus. Kann irgendwie net ganz nachvollziehen, dass Pz=2d ist...würd da so net drauf kommen^^
05.03.2006, 14:19	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhm...kannst du mir eventuell mal erklären, warum man das so rechnet, wie du das tust? Vielleicht versteh ich das dann eher...hab die Zeichnung zwar vor mir liegen aber kann mir das bildlich überhaupt nicht vorstellen. Also, ich rechne den Normalenvektor von der Seitenfläche aus...dieser steht senkrecht zur Ebene und trifft auf die Höhe, wo P liegt...Also quasi der Schnittpunkt von E und der Geraden h ist P...aber geht ja nicht, denn d ist ja P. Ich bin verwirrt
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05.03.2006, 14:20	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
alternativ kannst du auch eine gerade durch P und senkrecht zu E legen, den schnittpunkt S bestimmen und d = /PS/ berechnen. E: - 4y + z = 0 $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2d \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in E eingesetzt, liefert $\begin{eqnarray} t=\frac{8-2d}{17} \end{eqnarray}$ und aus der distanzformel bekommst du damit eine quadratische gl. in d $\begin{eqnarray} 221d^{2}+544d-1088=0\Rightarrow d_1=1.3065 \end{eqnarray}$ (d2 liegt ja nicht INNERHALB der pyramide). auch dieser weg scheint mir nicht so umständlich wie das zeugs in der schule. "... und das dart man nicht verwenden..." finde ich besonders doof. wozu? werner edit: was genau verstehst du nicht?
05.03.2006, 14:29	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso liegt der nicht innerhalb der Pyramide? Kann der auch draußen liegen? Da hab ich ja noch gar nicht dran gedacht...ich dachte P muss auf der Höhe h liegen, weil der doch in der Mitte des Quadrats liegt. Kurios, kurios das ganze... Weiß irgendwie grad selber nicht, was ich nicht versteh, irgendwie gar nichts^^aber das mit der Gerade versteh ich jetzt noch am ehesten, kann ich mir zumindest etwas genauer vorstellen und werd ich jetzt mal versuchen... Darf das nicht verwenden, weil wir das nie im Unterricht durchgenommen haben...also, in der Abiklausur dürfte ich das schon, weil sie das ja dann nicht als Fehler anstreichen darf aber so würden wir dann in der Vorabi z.B. weniger Punkte dafür kriegen...weil's ja unfair ist, wenn einige Leute kürzer rechnen müssen, weil sie was können, was noch nie drankam...^^
05.03.2006, 14:42	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe dir mal ein bilderl dazu gemacht. leg das ganze zeug mal auf die seite und mach mal coca cola! nur so viel: wenn d < 0 => dann liegt der punkt P2 unterhalb der xy-ebene, 2d ist ja seine z-komponente. da der punkt E aber z = 8 hat, liegt die pyramide oberhalb der xy-ebene. klar soweit? werner
05.03.2006, 14:44	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Manno, das geht nicht Ich dachte, wenn ich eine Gerade senkrecht zu E lege, könnte ich ja genauso gut das Lotfußpunktverfahren anwenden und die Gerade von h in die Ebene einsetzen aber das hat nicht funktioniert Ich hätt doch so gerne was, wo ich selbst drauf kommen könnte... gibt es nicht irgendetwas, was total umständlich ist aber dafür super einfach und total durchschaubar? Sorry, wenn ich nerve aber ich krieg's einfach nicht raus...Klar, wenn ich jetzt einfach deinen Rechenweg abschreibe, hab ich das Ergebnis aber da würde ich dann bei einer ähnlichen Aufgabe wieder vor dem gleichen Problem stehen
05.03.2006, 14:46	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann das Bild leider nicht sehen....
05.03.2006, 15:06	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid: bei mir ist das bild zu sehen. probieren wir es halt gemeinsam: 1) stelle einmal die ebene ABE in (parameter-) und koordinatenform auf. 2) schreib alles her, was dir über den punkt P wirklich klar ist. ist dir klar dass er auf der geraden durch den mittelpunkt des quadrates M(?/?/?) liegt. schreib diese gerade auf. dann geht es weiter. werner
05.03.2006, 15:17	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Also. 1.) E: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 8\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist umgeschrieben in Koordinatenform: -4y+z=0 2.) Mhm...über den Punkt P weiß ich, dass er genau in der Mitte der Grundfläche der Pyramide liegt. Also , x=2, y=2 und z ist unbekannt. Auf welcher Höhe weiß man nicht...Der Richtungsvektor der Geraden durch P muss also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein, da die Gerade ja nur nach oben läuft...bzw nach unten aber der Punkt ist ja positiv. Dann könnte die Gerade theoretisch g: $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\2 \\ z\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. Richtig?
05.03.2006, 15:23	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn er in der mitte der GRUNDfläche (=xy-ebene) liegt, ist seine z-koordinate? werner
05.03.2006, 15:30	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das weiß man eben nicht, da ja nicht angegeben ist, auf welcher Höhe in der Mitte der Punkt liegt.
05.03.2006, 15:32	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
na klar, soweit sind wir aber noch nicht, ich meinte den punkt M. dessen z-koordinate lautet z = ? werner
05.03.2006, 15:35	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ja der lautet (2,2,0). Also ist die Gerade von grad falsch, da kommt dann statt z 0 hin JIPPIEH, ich seh die Zeichnung und verstehe nun endlich was es mit dem d und 2d auf sich hat! Danke
05.03.2006, 15:44	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
na super. (nur der ordnung halber: deine gerade von vorhin war deswegen NICHT falsch. du hast nur einen ANDEREN aufpunkt.) nun weiter: wie man (aus den richtungsvektor) sieht, können sich ALLE punkte auf dieser geraden NUR in WELCHER koordinate unterscheiden? werner
05.03.2006, 15:47	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
In der z-Koordinate?
05.03.2006, 16:00	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
genau. alle punkte auf dieser geraden haben - wie du ja anfangs in der geradengl. geschrieben hast - die koordinaten (2/2/z)!! und siehe zeichnung, wir wählen nun z = 2d (wobei wir natürlich, oder leider) dieses d, bzw, 2d noch nicht kennen. (man kann es auch umständlicher machen, aber das können wir eventuell später tun. für unsere zwecke hat g ausgedient). unser gesuchter punkt P hat also die koordinaten P(2/2/2d)!. ist das soweit klar? nur weiter, wenn das wirklich klar ist, sonst fragen. und jetzt wollen wir den abstand dieses punktes von E wissen (ohne HNF), also mit dem lotfußpunktverfahren. dazu stelle nun bitte die auf E senkrechte gerade h durch P auf. werner
05.03.2006, 16:07	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, weil bei 2d ja P liegt, da er doppelt so weit von der Grundfläche wie von der seitenfläche entfernt ist, das hab ich verstanden! Die auf E senkrechte Gerade durch P....ok, der Normalenvektor steht senkrecht zu E...also müsste die Gerade h: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\2d \end{pmatrix} +u\begin{pmatrix}0 \\ -4 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein?
05.03.2006, 16:24	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
alles richtig, und jetzt h und E schneiden. und daraus u durch d ausdrücken. ok? werner
05.03.2006, 16:32	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hab ich u= $\begin{eqnarray} \frac{8-2d}{17} \end{eqnarray}$ Setz ich das jetzt in h ein?
05.03.2006, 16:35	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, dann hast du den lotfußpunkt F. und jetzt weißt du, der abstand PF soll = d sein!!! $\begin{eqnarray} d = \mid \vec{PF} \mid \end{eqnarray}$ also bestimme zunächst /PF/. werner
05.03.2006, 16:39	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kommt aber was ganz komisches raus.... $\begin{eqnarray} \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ \frac{2}{17}+\frac{8d}{17} \\ \frac{32d}{17}+\frac{8}{17}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
05.03.2006, 17:00	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
aber es stimmt, aber diese arbeit kannst du dir sehr erleichtern: $\begin{eqnarray} \vec{PF} =\begin{pmatrix} 2-2 \\ 2-4u -2\\ 2d+u -2d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ -4u \\ u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und jetzt bildest du $\begin{eqnarray} \mid \vec{PF} \mid=\mid \begin{pmatrix} 0 \\ -4u \\ u \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray}$ und erst, wenn du das ausgerechnet hast, setzt du für u ein. also hinein ins wasser und weiter schwimmen werner
05.03.2006, 18:56	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm....jaa, also hab das jetzt gemacht und für $\begin{eqnarray} \mid \vec{PF} \mid \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{0,2338d²-1,88d+3,7615} \end{eqnarray}$ raus.
05.03.2006, 19:18	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
da warst du sozusagenb ein bißerl unfolgsam. aber egal DAS IST RICHTIG!!! na und wir wissen, der abstand PF von E = ? das einsetzen, quadrieren und die quadratische gl. in d lösen, liefert ja schon deine(n) wert(e) für d. werner
05.03.2006, 19:28	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
g ich weiß aber fand das so einfacher ähm Abstand PF von E? Soll ich das jetzt in eine Abstandsformel einsetzen? PF ist doch schon d!?
05.03.2006, 19:42	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, aber wir suchen doch noch d! $\begin{eqnarray} d =\mid\vec{PF}\mid=\sqrt{0,2338d²-1,88d+3,7615} \end{eqnarray}$ wirst doch nicht auf halbem weg aufhören! berechne jetzt d, s. mein letzter post werner
05.03.2006, 19:50	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, na endlich! Ich hab's raus! Danke für die Geduld d= 2,6
05.03.2006, 20:04	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
da hast du dich leider noch etwas verrechnet $\begin{eqnarray} d =\sqrt{0,2338d²-1,88d+3,7615} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d^{2} =0,2338d²-1,88d+3,7615\Rightarrow d_1=1,3058 \end{eqnarray}$ bitte nachrechnen. einen schönen abend noch werner
07.03.2006, 15:43	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhm? Ahso^^, hatte mich nicht verrechnet, nur verschrieben. Meinte, dass 2d=2,6 ist. d ist dann natürlich 1,3.
07.03.2006, 16:24	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
bin ja kein hellseher. na hauptsache nun stimmt alles. viel spaß noch werner

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