Extremalprobleme |
| 05.05.2004, 23:02 | Plat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremalprobleme Ich habe eine ziemlich - wie ich finde - "deftige" Aufgabe vor mir. Ich hoffe wir können sie zusammen berechnen. Ein Rechteck mit dem Umfang U rotiert um eine seiner Mittelachsen, so dass ein Zylinder entsteht. Welche Maße muss das Rechteck besitzen, damit das Zylindervolumen ein Maximum annimmt? Puh.... Ehrlich gesagt hab ich nicht mal einen Ansatz 
Bitte helft mit :P |
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| 05.05.2004, 23:05 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremalprobleme ANSPRUCHSVOLL Was soll denn eine Mittelachse darstellen? |
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| 05.05.2004, 23:05 | Plat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe keine Ahnung Ich überlege schon die ganze Zeit was Mittelachsen an einem Rechteck sein sollen |
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| 05.05.2004, 23:09 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nennen wir einmal die Rechtecksseiten x und y und nehmen wir an, daß das Rechteck um die Symmetrieachse der Seite x rotiert. Was sind dann Radius r und Höhe h des Zylinders? Was also das Volumen V? Dein V sollte die Variablen x,y enthalten. Jetzt mußt du eine der beiden Variablen mit Hilfe einer Nebenbedingung eliminieren. Und das ist die Geschichte mit dem Umfang u. Der soll wohl konstant sein. Was ist nun der Zusammenhang zwischen x,y,u? Löse diesen nach y auf und eliminiere damit in der V-Formel y. Die V-Formel enthält jetzt noch x und u. Aber u ist ein Parameter, d.h. als konstant zu betrachten. Jetzt mußt du nur noch das Maximum der Funktion V(x) bestimmen. |
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| 05.05.2004, 23:22 | Plat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ehrlich gesagt habe ich nicht ganz verstanden was ich nach was umformen soll? U = 2*x + 2*y (vom Rechteck) V = x^2*y*pi (vom Zylinder) was soll ich nun machen? 
Aber trotzdem vielen Dank! |
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| 05.05.2004, 23:32 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die V-Formel stimmt nicht ganz! Der Zylinderradius ist nur x/2, nicht x. Die x-y-u-Formel löst du dann nach y auf und setzt in die V-Formel ein. |
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| 05.05.2004, 23:34 | Mr.E | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht hier wohl nur um das Kantenlängenverhältnis x/y. 2x+2y=u V~u Für u braucht es jetzt ein Maximum... ich weiß auch nicht so genau... |
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| 05.05.2004, 23:36 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was soll denn das bedeuten? Leopold hat´s doch schon sehr schön erklärt. |
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| 05.05.2004, 23:37 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So wie Leopold es beschrieben hat, ist die Mittelachse die "Höhe im Mittelpunkt" auf der Seite x. Dann ist der Radius der Zylindergrundfläche nicht x sondern x/2. Wenn du das verbessert hast, löst du die Umfangsformel nach y auf. Dürfte nicht so schwer, ich schreibs trotzdem mal hin: Das in die Volumenformel einsetzen. Und ab da weiß ich nicht mehr weiter, da ich eigentlich noch keine Extremalprobleme kenne. Ich könnt mir nur denken, dass du dann da einsetzt und dann hast du ja folgende Formel: Dann ausmultiplizieren und irgendwie für das Maximum des Volumens x in Abhängigkeit von u darstellen. Das wieder in die Umfangsformel einsetzen und nur noch umformen. Dann haste x und y jeweils in Abhängigkeit von u und somit auch das Verhältnis x zu y. Fertig! So würd ich jetzt mal denken. ----------------------------------------------------Edit------------------------------------------------- Tja, Pech gehabt, Leopold war schneller. |
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| 05.05.2004, 23:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Ben Sisko So ganz unrecht hat Mr. E nicht. Wenn Plat die Lösung erst einmal hat, ist es vielleicht sinnvoll, die Antwort in einer Aussage über x/y zu formulieren. @ Plat Mathespezialschüler hat ja die ganze Arbeit bereits für dich gemacht. Wenn du jetzt im allgemeinen Fall schon weiter kommst, ist es ja bestens, wenn nicht, hilft es dir vielleicht, für u zunächst einmal eine konkrete Zahl, z.B. u = 40 (cm) einzusetzen und mit diesem konkreten u die Aufgabe zu lösen. Und dann zurück zum allgemeinen Fall mit u als Parameter. |
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| 05.05.2004, 23:47 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und das soll V~u bedeuten? 
Oder soll das heissen V in Abhängigkeit von u? Über Antwort-angeben in Abhängigkeit von x/y hab ich doch gar nix gesagt... Nu bin ich verwirrt. |
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| 05.05.2004, 23:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich: Das mit V~u ist Quatsch! Höchstens im Sinne von V_max ~ u (Stichwort: Aufgabe ist invariant modulo einer Streckung), womit wir wieder beim Verhältnis x/y wären. |
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| 05.05.2004, 23:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was heißt die ganze Arbeit? Ich hab die Umfangsformel nach y umgestellt und in die Volumenformel eingesetzt. Das hat Plat ja bestimmt auch selbst rausgefunden. Kann mir jemand sagen, wie man dann bei der kubischen Gleichung den Maximalwert berechnet? Geht das denn ohne Wissen über Ableitungen überhaupt (z.B. so ähnlich wie bei nach unten geöffneten Normalparabeln. Da habe ich immer Nullstellen berechnet und Mittelwert gebildet. Das war dann der x-Wert für maximalen Flächeninhalt (folgt aus Eigenschaft einer Parabel))??? Zumal ich ja noch nicht mal ne ganzrationale Funktion kenne, in der verschieden Exponenten vorhanden sind! |
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| 05.05.2004, 23:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht, glaube ich, auch ohne Ableitung. Ich muß mir das aber erst überlegen wie. |
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| 06.05.2004, 00:05 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mathespezialschüler du erstaunst mich wieder und wieder ... 
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| 06.05.2004, 00:22 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß ja schon ein wenig über Ableitungen. Z.B., dass die Ableitung die Winkelgröße der Tangente an den Graphen in dem jeweiligen Punkt bei x auf der y-Achse darstellt oder so ähnlich. Auf jeden Fall kann ichs mir vorstellen. Ich hatte auch schon andere Extremalprobleme hier gelesen und es da halt so gemacht wie ich beschrieben habe. Ich hab halt nur nich verstanden wie man durch Ableitung bilden den Maximalwert bekommt. Jetzt ist mir ein Licht aufgegangen, als ich folgendes in einem anderen Thread, auch zu einem Extremalproblem, gelesen habe:
Ich hab mir jetzt irgendeine Kurve vorgestellt mit einem höchsten Punkt. Wenn man die Ableitung bildet, dann ist ja der Winkel der Tangente an diesem Punkt 0°. Und dann is mir auch klar geworden, warum er das 0 gesetzt hat, weil beim Graph der Ableitung die Nullstelle ja der x-Wert ist, bei dem beim Ausgangsgraphen (weiß nicht, wie man den nennt, den , von dem man halt die Ableitung gebildet hat) der höchste Wert (eben der gesuchte Maximalwert) auf der y-Achse ist. Und auf der y-Achse ist ja dann immer die Größe dargestellt, die maximal werden soll. Hab ich das denn jetzt alles richtig geschlussfolgert? @Poff Warum das denn jetzt schon wieder?? |
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| 06.05.2004, 00:27 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mathespezialschüler Jaa, das ist richtig ....
Warum ??? ... weil mich das an mich erinnert .
f(x) = x³ + a*x² + b*x + c hat hier seine beiden möglichen Extrema : ich denke das wäre (in Teilen) eine Möglichkeit ...
...
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| 06.05.2004, 20:26 | Abifanatiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wollen wir die eleganteste Lösung geniessen... Wir haben ein Rechteck, dessen eine Seite an die y-Achse "geheftet" ist, während die "Mittelachse" des Rechtecks auf der x-Achse liegt. Somit ist Seite a gleich x. Seite b des Rechtecks ist dann f(x). Zur Volumenbestimmung eines Graphen gibt es eine Formel, die da lautet: hieraus folgt: Weiterhin gilt die Bedingung: U = 2 (x + f(x)) hieraus folgt x = (U/2) - f(x) Diesen neuen Term für x setzt man in der Volumengleichung ein (für die obere Integralgrenze). Danach ist dann pillepalle... ausmultiplizieren, erste Ableitung formen, diese gleich null setzen, ggf. noch die zweite Ableitung bilden und auf die hinreichende Bedingung testen. Tja, Leute, was bin ich nicht für ein Angeber - hab weniger als 1 Minute gebraucht... |
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| 06.05.2004, 20:30 | Abifanatiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Hälfte der Seite b ist natürlich gleich f(x) |
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| 06.05.2004, 20:34 | Abifanatiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu U, greetz und tschuldigung..... U = 2(x + 2f(x)) --> x = (U/2) - 2f(x) |
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| 06.05.2004, 22:05 | Abifanatiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab mal die Pillepalle zu Ende geführt und als Volumen den betrag 0 bekommen und stelle fest, dass die Aufgabe eine der "geilsten" FakedTasks, die ich je gesehen habe. V ist gleich null, weil es unendlich viele Lösungen gibt. Da da Rechteck durch den Umfang charakterisiert und festgelegt wird, sind somit auch die Seitenlängen des Rchtecks schon eigentlich "fest" vorgegeben (natürlich in einem entsprechendne Verhältnis). Nun ist z.B. das Volumen V = a^2 * b und der Umfang U = 2(a+b) --> man sieht, dass das Volumen quasi vom Umfang definiert wird und daher kann es bei gegebener Aufgabenstellung für einen bestimmten x-Wert keinen größtmöglichstes Volumen geben. Die Pillepalle ist nur sinnvoll zu berechnen, wenn man beachtet, dass es sich bei f(x) um eine Gerade der Steigung 0 handelt, d.h. f(x) ist gleich einem reelen Wert, sozusagen eine simple Zahl --> für jedes x ist der Funkionswert gleich groß. Die Stammfunktion von f(x), also F(x) ist somit f(x) * Definitionswert --> es wird quasi einfach nur noch ein x rangehängt. Bei Fragen, bitte posten - bin eigentlich nett, scheint aber nicht so, weil ich eben ... eben .. eben.. egal, fragt wenn ihr wollt und sagt mir auch Denkfehler, wenn ihr welche seht. Dass ich die FakedTask nicht sofort erkannt habe, bezeugt, dass ich nur 12 Punkte in Mathe habe- |
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| 06.05.2004, 23:39 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was schreibst denn du für ein Zeug hier ??? Es mag ja gerade noch vorstellbar sein, dass ein größtes Volumen mehrfach erreicht wird, aber Keinesfalls ist das größt mögliche Volumen Null. Zudem bezweifele ich rein gefühlsmäßig, dass ein größtes Volumen nicht existiert, immerhin sind die Seiten unterschiedlich 'gewichtet' ... hab aber die genaue Aufgabe nicht im Kopf, außer dass es um einen Rotationskörper geht mit endlich großem Rechteck als Querschnitt. 
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| 07.05.2004, 00:06 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versteh auch nicht, was du willst! Rechne mal nochmal nach. Dann kommst du nämlich darauf, dass die Höhe (b) gleich dem Radius (a/2) ist! Dann kommst du auch auf die Volumenformel Wie Poff ja schon erklärt hat, kann deine Antwort sowieso nicht stimmen! |
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| 07.05.2004, 07:45 | Abifanatiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass das Volumen gleich null beträgt, bedeutet nicht, dass das größtmöglichste Volumen glecih null ist - die null indiziert nur die Menge der unendlichen möglichen Lösungen. Der zweite Einwurf von Poff (Mit der vercschiedenen Gewichtung der Seiten) , finde ich berechtigt. Mathespezi verstehe ich nicht ganz, denn mal angenommen die längste Seite des Rechtecks ist b. Wie kommst du darauf das b glecih (a/2) ist???? Entweder ausführlich erläutern oder nochmal durchdenken., bitte. Wenn mein Lösungsweg falsch wäre, dann würde ich denken, dass das Rechteck ein Quadrat mit den entsprecheneden Maßen ist (wies schon mal irgendwer gemeint hat. |
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| 07.05.2004, 07:47 | abifanatiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nochmal zu Poff: Gefühle und Intention haben in ´Mathe keine berechtigung. |
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| 07.05.2004, 08:11 | Abifanatiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habsss!!!Es gibt tatsächlich enendlich viele Lösungen, weil: Wir haben ein Rechteck in einem 2d Raum gegeben - das heißt, wir sehen die Seite a und b. c aber nicht!!!!! Der Umfang eines Rechtecks kann aus drei Perspektiven aufgenommen werden, hängt davon ab, ob wir einen linearen Raum, 2d oder 3d Raum vor uns haben. Das heißt wir könnten einmal nur a und b, aber c und a, oder b und c sehen. Hieraus folgt, dass mit zunehmenden c das Volumen des Rechtecks unendlich grpß werden kann, ohne das ""UNSER" Umfang aus ((2(a+b)) sich verändert, weil wir c eben nicht registrieren aufgrund unsere Perspektive. Wechseln wir die Perspektive , dann könnt genauso gut a oder b unendlich groß werden für den entpsrechenden Umfang. Die Sache wäre ganz anders, wenn wir einen dreidimensionales System hätten, was wir aber nicht haben (denn das sich drehende Rechteck befindet sich nicht im 3dRaum, nur seine Maße werden durch den 2dRaum gegeben) Wer einen denkfehler entzdeckt, der wir ´von mir gelyncht - passiert eh nicht, weil die Überlegung zuiemlich logisch ist.- |
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| 07.05.2004, 15:42 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich Keinem widerspreche, soo aber genau diesem. Ein jeder guter ((Mathematiker)) denkt mit Gefühl !!! ... nur die 'beschränkten' denken mit formaler Logik .
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| 07.05.2004, 16:11 | Abifanatiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kannst du wissen, dass ein jeder guter Mathematiker mit Gefühl denkt? Ich glaube kaum, dass du einen kennst... dann können eben auch nur beschränkte leute 15Punkte in Mathe kriegen - aber stimmt nun die Lösung oder nicht? |
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| 07.05.2004, 16:16 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wer sagt denn, dass b die längste Seite des Rechtecks ist?? Ich kann dir ja mal meinen Rechenweg darlegen: Ableitung bilden: V' 0 setzen: 0 als Lösung fällt weg. Somit ist das Volumen oder Wo ist denn jetz deiner Meinung nach bei mir ein Fehler?? |
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| 07.05.2004, 16:23 | abifanatiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Rechenweg ist einwandfrei, nur kannst du bitte darlegen, wie du auf deine Ausgangsglecihung kommst? Danke |
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| 07.05.2004, 16:45 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vmax = 1/216 * Pi * U^3
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| 07.05.2004, 17:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, wenn wir ein Rechteck haben, und es soll um die Mittelachse rotieren, dann entsteht ein Zylinder. Die Mittelachse ist die Mittelsenkrechte auf einer Rechtecksseite. Deswegen halbiert sie sie und steht senkrecht darauf. Wenn du jetzt das Rechteck um diese Achse rotieren lässt, entsteht, wie gesagt, ein Zylinder. Der Radius der Grundfläche ist die Hälfte der Rechtecksseite, auf der die Mittelsenkrechte steht. Dann hast du den Radius und die Höhe (die zweite Rechtecksseite). |
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| 07.05.2004, 18:55 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig 'Mathespezialschüler' und deswegen ist das Volumen Vmax zugleich auch Vmax = Pi * (Grundkreisdurchmesser/2)^3 = Pi * (U*1/6)^3 = const und tritt nur für genau diesen einen Fall auf. Das Seitenverhältnis ist 2, demnach ist's ein echtes Rechteck Das Ding ist doppelt so breit als hoch
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