Fallunterscheidun bei Ungleichungen mit 2 Beträgen

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Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Fallunterscheidun bei Ungleichungen mit 2 Beträgen
Meine Frage bezieht sich auf Ungleichungen mit 2 Beträgen.
Warum muß man zuerst eine Fallunterscheidung machen? Und kann diese auch dass Ergebnis ändern? Also: Was nützt die Fallunterscheidung bei Ungleichungen mit 2 Beträgen? Hilfe
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fallunterscheidun bei Ungleichungen mit 2 Beträgen
Nenn mal ein beispiel, da kann man es immer gut dran erklären...
|x|=2
x=2 oder x=-2
daran muss man denken...
gast Auf diesen Beitrag antworten »

(z.B. /x-1/+/2-x/<=3x+1

<= kleiner gleich
//Betragsstriche




Wenn z.B. beim 1.Fall x-1<0 und 2-x>0 =>x<1 und x<2 gebildet wird, inwiefern verändert dies dann das Ergebnis der eigentlichen Ungleichung?

1.Ungleichung:
-x+1+2-x<=3x+1
-2x+3<=3x+1
2<=5x
2/5<=x

Was ist jetzt dass Ergebnis wenn der 1. Fall miteinbezogen wird? verwirrt
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist die Schnittmenge der 3 Bereiche.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Dasselbe Problem tritt schon auf, wenn du nur einen Betrag hast.

Loese zum Beispiel
|2x - 1| <= x + 1

Du musst hier zwei Faelle unterscheiden: 2x-1<=0, und 2x-1>=0.

Ist 2x-1<=0, erhaeltst du die Ungleichung
-(2x - 1) <= x + 1
die stellst du um zu
0 <= 3x.
Die Loesungsmenge fuer diesen Fall besteht aus allen x, fuer die
0 <= 3x, also 0 <= x
und
2x-1<=0, also 2x<=1,also x<=1/2
gilt, da dies ja eine Bedingung fuer x in diesem Fall ist (der von Irrlicht angesprochene Schnitt). Das ist hier der Bereich
0 <= x <= 1/2.

Ist nun 2x-1>=0, erhaeltst du
2x-1 <= x+1
also
x <= 2.
Die Loesungsmenge fuer diesen Fall besteht aus allen x, fuer die
x <= 2
und
2x-1>=0, also 1/2 <= x
gilt. Das ist der Bereich
1/2 <= x <= 2.

Die Loesungsmenge der urspruenglichen Gleichung ist die Vereinigung:
0 <= x <= 2.

Wenn du nun noch mehr Betraege hast, hast du mehr Faelle. Wenn du aber fuer jeden Betrag einzeln schaust, ob er einen positiven oder negativen Wert drin hat, stellst du fest, dass einige Faelle nicht auftreten koennen. Zum Beispiel bei

|x| + |x-1| <= 3
Der Fall x>=0 und x-1<=0 ist gar nicht moeglich.

Bei mehreren Betraegen musst du also alle Stellen finden, an denen die Werte in einem der Betraege gleich 0 sind, und die Bereiche zwischen diesen Stellen getrennt untersuchen. Im Fall der letzten Gleichung sind das die Bereiche
I: x<=0
II:0<=x<=1
III: x>=1

Gruss,
SirJective
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die tolle Erklärung! Endlich weiß ich jetzt mal darüber bescheid, dass wird in keinem Buch so richtig erklärt. :]
 
 
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