Wendetangente aus einer Kurvenschar [War: Analysis] |
| 11.06.2008, 15:28 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Wendetangente aus einer Kurvenschar [War: Analysis] Wir müssen eine ehemalige Abiturprüfungsaufgabe Mathe-Grundkurs lösen aus dem Jahr 2005 (Brandenburg); Aufgabe 1.2 (Analysis). (Vielleicht hat einer das Lösungsbuch) (im Folgenden wird angegeben Funktion f(index)a (x). Also gesprochen f a von x.: ich schreibe vereinfacht fa(x)=...) gegeben: funktionsschar fa(x)=x³+(3-3a)x²-3ax; x E R; a E R Wendepunkt der Schar: Wa (a-1/-2a³+3a²-3a+2) Aufgabe: Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente (Tangente im Wendepunkt) an K1 (K[index]1). ein Graph der Schar fa hat eine Wendetangente, deren Anstieg größer ist als der Anstieg aller anderen Wendetangenten an Ka. Ermitteln Sie den zugehörigen Parameter a und geben Sie diesen größtmöglichen Anstieg an. Den ersten Teil habe ich schon versucht zu lösen und komme auf eine Gleichung: t(x)=-3x Ist die korrekt und wie löst man den zweiten Teil? Ich brauch unbedingt Hilfe! Danke. [Edit mY+: Nichtssagenden Titel modifiziert] |
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| 11.06.2008, 15:33 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim ersten Teil komme ich auch auf t(x)=-3x . Für den zweiten Teil musst du dir darüber Gedanken machen, wie die Steigung der Wendetangente mit dem Wendepunkt und der ersten Ableitung zusammenhängt... |
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| 11.06.2008, 16:01 | spectre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich empfehle den Formeleditor mfg http://matheboard.de/formeleditor.php |
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| 11.06.2008, 16:13 | TyrO | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klingt vielversprechend. Steigung = 1.Ableitung , klar, aber was soll das zur Lösung der Aufgabe bringen? |
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| 11.06.2008, 16:16 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erst wenn er sich darüber im klaren ist, kann er anfangen eine Strategie zu entwickeln, bzw. anzuwenden, die ihm den Parameter liefert, bei der die Steigung der Wendetangente maximal ist, oder würdest du da komplett anders vorgehen? |
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| 11.06.2008, 16:54 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der Zusammenhang zwischen 1. Ableitung und der Funktionsschar ist nach meiner Meinung nur dieser: Extrempunkt der 1.Ableitfkt.=Wendepkt. der geg. Funktion. Ok, Position des wendepunktes ist also der Koordinatenursprung. Aber jetzt komm ich immernoch nicht weiter. (schonmal vielen dank für eure Bemühungen) |
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| 11.06.2008, 16:58 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Koordinatenursprung ist allerdings nur Wendestelle für a=1, das wird aber aus der Angabe des Wendepunkts ziemlich schnell klar 
Ein anderer Zusammenhang ist aber der Wert der ersten Ableitung an der Wendestelle, was gleich der Steigung der Wendetangente ist und damit willst du im zweiten Teil doch etwas machen
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| 11.06.2008, 19:25 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Davon hab ich noch nie was gehört und damit kann ich auch nicht viel anfangen. Könnt ihr mir vielleicht zeigen, wie ihr bei der rechnung vorgehen würdet? Ich kann höchsten die Ableitung bereitstellen: Was muss ich jetzt einsetzen, umstellen,...? |
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| 11.06.2008, 22:57 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde jetzt für den x-Wert den x-Wert des Wendepunktes einsetzen, nämlich ...kommst du jetzt weiter? |
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| 12.06.2008, 09:13 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also wenn ich ehrlich bin nicht... ich habs jetzt eingesetzt und nach dem Parameter a umgestellt. Ergebnis: und setzt man das in die Ausgangsgleichung ein oder in die Ableitung und was macht man danach. Ich habe wirklich absolut keine Ahnung. Danke. |
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| 12.06.2008, 14:54 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja gut, ich habe die Werte nicht überprüft, weil ich es grundsätzlich anders machen würde und deine Vorgehensweise eigentlich nichts bringt, da du dann alle Fälle untersuchen müsstest. Ich würde die Ableitung der Funktion bilden. In diese dann für x die x-Koordinate des Wendepunktes einsetzen. Dann hast du (Das -1 fällt weg, da alle Werte mal angenommen werden) Bei der Funktion ist wichtig, dass sie ohne Parameter ist. Welche Bedeutung hat diese Funktion jetzt? Sie gibt immer die Ableitung am Wendepunkt an. Verstehst du das? Was musst du jetzt machen? |
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| 12.06.2008, 17:15 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was muss ich jetzt machen? Erstmal klaren Kopf kriegen. Ich blick leider nicht so recht durch. Für mich ist es unerklärlich wie die Funktion f(a) ohne Parameter sein kann. wenn ich in die Ableitfunktion für alle x (a-1) oder nur a einsetze, sind doch Parameter drin?! Also: Und was soll ich dann mit der Ableitung machen (wenn dieses Problem/diese Frage erstmal geklärt ist). Kann mir das niemend vorrechnen? ich versuch ja mein bestes, aber bekomme es einfach nicht hin. Besser nochvollziehen könnte ich es, wenn ich die Rechnung vor mir hätte. |
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| 12.06.2008, 17:21 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja bei f(a) hast du ja nur das a, also keinen Parameter, sondern nur eine Variable. Ich kenne mich mit den Begriffen nicht ganz genau aus, verstehe das jedenfalls so. Jetzt hast du wunderschön abgeleitet. Allerdings hast du einen Schritt zu viel gemacht, mache noch einmal ganz normal die Ableitung von . Wenn du die dann hast setzt du jedes x=a-1. Dann ist es eine Funktion in abhängigkeit von a also f(a). Allerdings darfst du dann nicht jedes a-1 durch ein a ersetzen. Dann musst du das vereinfachen. Weil du immer gute Fortschritte machst, glaube ich, dass du mit ein wenig Hilfe selbst zum Ergebnis kommen kannst, daher werde ich nichts vorrechnen. Versuch dich nicht zu sehr an der Hifle festzuhalten, sondern dir vorzustellen was du da gerade tust. |
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| 12.06.2008, 20:48 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eingesetzt und umgestellt sieht die Gleichung bei mir so aus: soweit richtig? Ist das jetzt der Anstieg der Tangentenfunktion? Oder ist das nur der allgemeingültige y-Wert? Wenn ja, warum mit der ersten Ableitung? Die braucht man doch bloß um Extrempunkte auszurechnen. Mir kommt es langsam so vor, als hätten wir eine Aufgabe aufbekommen, die wir gar nicht lösen können... wie soll ich denn jetzt den Parameter a genauer bestimmen und die Steigung herausfinden? Oder geht das gar nicht genauer? Mal schnell nachgedacht: "...Wendetangente, deren Anstieg größer ist als der Anstieg aller anderen Wendetangenten..." Muss ich jetzt mit größer als bzw. kleiner als arbeiten? [ t(x)>alle anderen t(x) ] |
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| 12.06.2008, 22:11 | TheWitch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist leider ein großer Trugschluss. Die erste Ableitung braucht man, um Steigungen zu berechnen. Dass man damit auch Extremstellen berechnen kann, liegt daran, dass an Extremstellen waagerechte Tangenten vorliegen, d. h. dass dort die Steigung 0 ist. Wenn ich das oben mal zusammenfassen darf: Du hast die Ableitung deiner Funktion. Die lautet . Das kann man geschickterweise weiter umformen zu Diese Gleichung gibt dir die Steigung der Funktion an jeder beliebigen Stelle x an. Setzt du nun für x die x-Koordinate des Wendepunktes, also x = a - 1, ein, so erhältst du die Steigung im Wendepunkt: (Dein Einsetzen mit anschließender Umformung war also falsch. Und ob du da jetzt noch die Klammern auflöst und zusammenfasst oder nicht, ist Geschmackssache. Es gibt aber Gründe, das nicht zu tun, siehe unten.) Und nun geht es weiter: Diese Steigung im Wendepunkt für alle möglichen a lässt sich auffassen als neue Funktion, die jedem a die entsprechende Steigung zuordnet. Du kannst sie also umbenennen in beispielsweise . Von dieser "neuen" Funktion sucht du jetzt den Extremwert, da die Formulierung "deren Anstieg größer ist als der Anstieg aller anderen Wendetangenten" gleichbedeutend ist mit der Formulierung "deren Anstieg der größte Anstieg von allen möglichen Anstiegen aller anderen Wendetangenten ist". Ein Tipp noch: Der Graph von w(a) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Es ist also automatisch gesichert, dass in deren Scheitel der größte Funktionswert liegt. |
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| 14.06.2008, 16:47 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gut, ich hab jetzt die erste ableitung von w(a) gebildet. Dann Null gesetzt (W(a)=0) und komme auf a=1/2. Ist das der in der Aufgabe geforderte Parameter a? Und der größtmögliche Anstieg ist 0, oder wie? |
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| 14.06.2008, 20:08 | TheWitch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a = 0,5 ist richtig - und das ist der geforderte Parameter, ja. (Du hättest übrigens die Ableitung nicht gebraucht. Du hättest w(a) in Scheitelpunktform umformen und den Scheitel ablesen können.) Der Anstieg ist allerdings nicht 0. Hast du das verstanden, was ich dir im Vorbeitrag erzählt habe? Wenn ja, dann überlege nochmal, welche Funktionsgleichung den Anstieg angibt - und was du nun tun musst, um ihn zu berechnen. |
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| 15.06.2008, 13:31 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Anstieg bekommt man durch die 1. Ableitung heraus. das heißt ich muss a=0,5 in die Ausgangsgleichung einsetzen, Ableitung bilden den x-Wert, den man zuvor ausgerechnet hat, einsetzen und dann komme ich auf -4,5. Ist das richtig, dass der größtmögliche Anstieg auch negativ sein kann? |
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| 15.06.2008, 20:18 | TheWitch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das von dir beschriebene Vorgehen ist zwar möglich, aber das umständlichste Verfahren. Zumal du dich auch noch irgendwo verrechnet hast. Oder irgendwas falsch eingesetzt hast, das vermag ich nicht zu beurteilen, so lange deine Rechnungen nicht hier stehen. Du hast bereits eine Funktionsgleichung für die Steigungen in allen möglichen Wendepunkten, nämlich w(a). Dort brauchst du nur dein a einzusetzen und du erhältst deine maximale Steigung.
Warum sollte das nicht möglich sein? Halte vielleicht nochmal inne und überlege dir, was du eigentlich berechnet hast - die Anstiege von Wendetangenten nämlich. Dein Ergebnis heißt nichts anderes, als dass a) alle Wendetangenten der Funktion negative Steigungen haben und dass b) unter all diesen Funktionen die Wendetangente der Funktion diejenige ist, die die größte Steigung hat. |
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| 16.06.2008, 22:04 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, ich hab es nochmal so eingesetzt wie du es sagtes und komme jetzt auf einen anstieg von -0,75. Dann müssten das also die Endergebnisse sein: a=0,5 m=-0,75 -> beschreiben durch die Funktion Ist das jetzt alles richtig so, oder hab ich Depp schon wieder was falsch gemacht? |
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| 17.06.2008, 09:11 | TheWitch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt immer noch nicht. Kannst du mal bitte genau aufschreiben, was du wo einsetzt? Zahlenwerte, Gleichung, Rechnung etc. bitte ... |
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| 17.06.2008, 15:37 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab blöder weise das Minus vor der 3 vergessen und komme nun auf: m=-2,25 falls wieder falsch hier die Gleichung: w(a)=-3(0,5-1)²-3*0,5 w(a)=-2,25 Jetzt müssten das doch alle Ergebnisse sein, oder? |
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| 17.06.2008, 16:29 | TheWitch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, jetzt ist alles ok. Schwere Geburt, uff ... :-) |
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| 17.06.2008, 17:59 | icke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, wenn jetzt alles stimmt, danke ich euch vielmals! Vielen dank für eure Gedult! |
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