Dreiecksschar

07.03.2006, 01:05

~Florian~

Dreiecksschar

Hi miteinader,

ich habe ein kleines Problem mit einer Geo Aufgabe. Es sind 3 Vektoren gegeben, wobei die Koordinaten eines Vektors von der Variable z abhängt. Ich müsste nun den Flächeninhalt in Abhängigkeit der Variable z berechnen. Leider weiß ich nicht wo ich da anfangen soll. Das Dreieck ist nicht auf gleichschenklichkeit oder rechtwinkligkeit begrenzt.

Danke schonmal!

07.03.2006, 01:26

mYthos

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Hi!

Die Angabe ist etwas diffus. Sind die 3 Vektoren die Ortsvektoren zu den Eckpunkten eines Dreieckes? Spielt sich das Ganze in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ ab?
Warum postest du nicht die ganze Angabe?

Du wirst wohl die Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes kennen, darin kommen die Koordinaten zweier Vektoren, die das Dreieck aufspannen, vor.
Diese werden dann naturgemäß das z enthalten, wenn du diese Vektoren berechnest und dort einsetzt.

Gr
mYthos

07.03.2006, 02:55

as_string

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RE: Dreiecksschar
Hallo!

Wie mYthos schon sagt wäre es sehr hilfreich, wenn man die ganze Aufgabe kennen würde...
Aber vielleicht schon mal ein paar allgemeinere Gedanken zu Deinem Problem: Wenn Du drei Ortsvektoren zu den drei Eckpunkten eines Dreiecks gegeben hast, dann kannst Du daraus zwei Vektoren machen, die von einem der Eckpunkte zu den beiden anderen zeigen. Die Fläche eines Dreiecks bekommst Du immer (egal, ob rechwinklig oder gleichschenklig, oder eben nicht), wenn Du $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}a\cdot h \end{eqnarray*}$ rechnest, wobei a eine Seite des Dreiecks und h die auf dieser Seite senkrecht stehende Höhe sein soll.
Wenn Du die beiden Vektoren hast, die von einem Punkt des Dreiecks zu jeweils einem anderen Punkt des Dreiecks zeigen, dann kannst Du die Länge (Betrag) des einen Vektors, den nenne ich jetzt mal $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , schon mal als Grundseite nehmen. Also brauchst Du nur noch die Höhe des Dreiecks. Dazu mußt Du den zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ senkrechten Anteil des anderen Vektors, den nenne ich mal $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , rausbekommen.
Am einfachsten geht das mit dem Vektorprodukt, denke ich. Damit kannst Du eine Dreiecksfläche dann so ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} A_\text{Dreieck} = \frac{1}{2} \left|\vec{a}\times\vec{b}\right| \end{eqnarray*}$
Bin mir da aber gerade nicht 100% sicher, weil ich solche Rechnungen schon sehr lange nicht mehr gemacht habe... Wahrscheinlich findet man diese Formel auch in einer Formelsammlung, könnte ich mir vorstellen.

Gruß
Marco

07.03.2006, 02:56

~Florian~

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Zitat:

Original von mYthos
Hi!

Die Angabe ist etwas diffus. Sind die 3 Vektoren die Ortsvektoren zu den Eckpunkten eines Dreieckes? Spielt sich das Ganze in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ ab?
Warum postest du nicht die ganze Angabe?

Du wirst wohl die Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes kennen, darin kommen die Koordinaten zweier Vektoren, die das Dreieck aufspannen, vor.
Diese werden dann naturgemäß das z enthalten, wenn du diese Vektoren berechnest und dort einsetzt.

Gr
mYthos

Ja, die 3 Vektoren sind Ortsvekoren zu den Eckpunkten. Das ganze spielt in R2. Leider habe ich es mal wieder komplizierter machen wollen als es war, da das Ganze relativ simpel über das Vektorprodukt * 0.5 gelöst werden kann.

Vielen Dank!

07.03.2006, 02:58

~Florian~

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RE: Dreiecksschar

Zitat:

Original von as_string
Hallo!

Wie mYthos schon sagt wäre es sehr hilfreich, wenn man die ganze Aufgabe kennen würde...
Aber vielleicht schon mal ein paar allgemeinere Gedanken zu Deinem Problem: Wenn Du drei Ortsvektoren zu den drei Eckpunkten eines Dreiecks gegeben hast, dann kannst Du daraus zwei Vektoren machen, die von einem der Eckpunkte zu den beiden anderen zeigen. Die Fläche eines Dreiecks bekommst Du immer (egal, ob rechwinklig oder gleichschenklig, oder eben nicht), wenn Du $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}a\cdot h \end{eqnarray*}$ rechnest, wobei a eine Seite des Dreiecks und h die auf dieser Seite senkrecht stehende Höhe sein soll.
Wenn Du die beiden Vektoren hast, die von einem Punkt des Dreiecks zu jeweils einem anderen Punkt des Dreiecks zeigen, dann kannst Du die Länge (Betrag) des einen Vektors, den nenne ich jetzt mal $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , schon mal als Grundseite nehmen. Also brauchst Du nur noch die Höhe des Dreiecks. Dazu mußt Du den zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ senkrechten Anteil des anderen Vektors, den nenne ich mal $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , rausbekommen.
Am einfachsten geht das mit dem Vektorprodukt, denke ich. Damit kannst Du eine Dreiecksfläche dann so ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} A_\text{Dreieck} = \frac{1}{2} \left|\vec{a}\times\vec{b}\right| \end{eqnarray*}$
Bin mir da aber gerade nicht 100% sicher, weil ich solche Rechnungen schon sehr lange nicht mehr gemacht habe... Wahrscheinlich findet man diese Formel auch in einer Formelsammlung, könnte ich mir vorstellen.

Gruß
Marco

Hallo Marco,

vielen Dank! Aber genau so habe ich es schon gelöst smile

07.03.2006, 02:59

as_string

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RE: Dreiecksschar
Sehr schön... dann weiß ich das jetzt auch wieder! Tanzen

Gruß
Marco

07.03.2006, 04:58

JochenX

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Zitat:

Vektorprodukt im IR^2???

wie soll denn das wieder gehen oder sind meine Informationen, dass "x" nur für 3-Komponentenvektoren definiert ist veraltet?

07.03.2006, 13:19

mYthos

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@LOED

Du kannst auch in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ für die Fläche des von 2 Vektoren aufgespannten Parallelogrammes eine Art Vektorprodukt generieren, es ist im Prinzip wie in $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ , nur dass in der 3-reihigen Determinante eine Zeile nur aus 0 besteht und daher nur noch eine zweireihige Determinante übrig bleibt.

Wir haben dies kürzlich auch dort verwendet!

Dadurch erhalten wir für die Fläche des von den zwei Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{A} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \ und \ \vec{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aufgespannten Parallelogrammes die besonders einfache (und schöne) Formel:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus kann auch der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zwischen diesen beiden Vektoren ohne absolute Beträge berechnet werden, denn es ist wegen

$\begin{eqnarray*} A = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot sin(\phi) \ und \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot cos(\phi) \end{eqnarray*}$

-->
$\begin{eqnarray*} tan(\phi) = \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1b_1 + a_2b_2} \end{eqnarray*}$

mY+

07.03.2006, 15:48

JochenX

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hehe, ich sehe schon, wir fassen den IR^2 als TEILRAUM des IR^3 auf, dabei hilft uns natürlich auch der triviale Isomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} \{(x/y), x,y \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{(x/y/0), x,y \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

die Parallelogrammfläche im "kleinen" Raum ist dabei genauso so groß wie die im "großen" Bruder IR^3, ergo die in diesem Unterraum aufgespannte Fläche (da spielt sich ja alles ab).

Für den kleinen Raum hats dann zwar nicht mehr so viel mit dem Kreuzprodukt zu tun (Errechnung eines zum SKP senkrechten Vektors zu den beiden gegebenen; geht hier ja gar nicht!), aber man bekommt die Fläche....

hehe, raffiniert! Wink

07.03.2006, 16:22

riwe

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findet man alles z.b. im lambacher schweizer, analytische geometrie
werner

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