Zahlbereichserweiterung: Unabhängigkeit von der Auswahl der Repräsentanten |
| 07.03.2006, 14:02 | Trilli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Zahlbereichserweiterung: Unabhängigkeit von der Auswahl der Repräsentanten zur Zahlbereichserweiterung von der Menge N der natürlichen Zahlen zu der Menge Z der ganzen Zahlen nachdem wir eine Addition definiert haben: {(x,y)~(a,b)} + {(x,y)~(c,d)} = {(x,y)~(a+c,b+d)}, soll die Unabhängigkeit von der Auswahl der Repräsentanten gezeigt werden: z.z.: {(x,y)~(a1,b1)} = {(x,y)~(a2,b2)} und {(x,y)~(c1,d1)} = {(x,y)~(c2,d2)} => (a1, b1) ~ (a2, b2) und (c1,d1)~(c2, d2) Muss das denn nicht heißen: {(x,y)~(a1,b1)} = {(x,y)~(a2,b2)} und {(x,y)~(c1,d1)} = {(x,y)~(c2,d2)} => {(x,y)~(a1+c1,b1+d1)} = {(x,y)~(a2+c2,b2+d2)} Danke, Trilli |
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| 07.03.2006, 22:00 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm deine Schreibweise verstehe ich nicht. Wozu die ganzen (x,y)?
Das macht schonmal wenig Sinn, da gebe ich dir Recht. Es soll ja gezeigt werden das die Addition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten einer Äquivalenzklasse ist, aber hier wird überhaupt nicht addiert.
Schon besser aber wenn ich das richtig lese steht da (a1,b1) = (a2,b2). Das heißt ja nichts anderes als a1 = a2 und b1 = b2. Es handelt sich also um den selben Repräsentanten. Das bringt uns aber nicht weiter, die Addition soll ja auch für verschiedene Repräsentanten ein und der selben Äquivalenzklasse funktionieren. Das was eigentlich zu zeigen ist sieht so aus: (a1,b1)~(a2,b2) und (c1,d1)~(c2,d2) => (a1+c1,b1+d1)~(a2+c2,b2+d2) Falls deine Schreibweise genau das bedeuten sollte sind wir uns ja einig ^^ Edit: *geistesblitz Ah jetzt verstehe ich die Schreibweise, {(x,y)~(a1,b1)} ist eine Äquivalenzklasse und (a1,b1) ein Repräsentant richtig? Dann meinen wir beide wirklich dasselbe. |
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| 08.03.2006, 08:03 | Trilli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Voraussetzung klar, Behauptung unklar Sorry wegen meiner Schreibweise, ich komm mit dem Formeleditor noch nicht so gut zurecht... ja ich meinte es so: {(x,y)~(a1,b1)} ist eine Äquivalenzklasse und (a1,b1) ein Repräsentant ich weiß, dass wir die Gleichheit der Klassen voraussetzen müssen. Denn, (a1,b1) und (a2,b2) repräsentieren zwar die gleiche Klasse, aber es kann trotzdem vorkommen a1 a2 und b1 b2 ich versteh nur nicht, was zu zeigen ist. Trilli |
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| 08.03.2006, 13:31 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist gar nicht so schwer. Stell dir eine Äquivalenzklasse als eine andere Schreibweise für eine ganze Zahl vor und jeder Vertreter dieser Klasse steht für die selbe ganze Zahl. Du sollst jetzt zeigen das die Addition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist also egal welche Vertreter du wählst, bei Addition kommt immer dieselbe Äquivalenzklasse (also die selbe ganze Zahl) heraus. Anders würde die Addition ja auch keinen Sinn machen. {(x,y)~(a1,b1)} = {(x,y)~(a2,b2)} und {(x,y)~(c1,d1)} = {(x,y)~(c2,d2)} => {(x,y)~(a1+c1,b1+d1)} = (x,y)~(a2+c2,b2+d2)} .. das würde ich jetzt erstmal umschreiben. {(x,y)~(a1,b1)} = {(x,y)~(a2,b2)} heißt ja nur das (a1,b1) und (a2,b2) die selbe Äquivalenzklasse repräsentieren. Also gilt (a1,b1)~(a2,b2). In der Vorlesung müsstet ihr ~ so definiert haben: (a1,b1)~(a2,b2) <=> a1+b2 = b1+a2 und ihr müsstet schon gezeigt haben das ~ eine Äquivalenzrelation ist. Diese Def. benutzt du jetzt einfach um (a1,b1)~(a2,b2) und (c1,d1)~(c2,d2) => ((a1,b1)+(c1,d1))~((a2,b2)+(c2,d2)) = (a1+c1,b1+d1)~(a2+c2,b2+d2) zu beweisen. |
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| 08.03.2006, 14:46 | Trilli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, jetzt hab ichs verstanden, und der Beweis ist komplett. ~ haben wir auch so definiert... jetzt muss ich dass gleiche für die Multiplikation zeigen. z.z.: (a1,b1)~(a2,b2) und (c1,d1)~(c2,d2) => (a1c1 + b1c1, a1d1 + b1c1) ~ (a2ca + b2c2, a2d2 + b2c2) vom Beweis hab ich bisher: (a1,b1)~(a2,b2) und (c1,d1)~(c2,d2) => a1 + b2 = b1 + a2 und c1 + d2 = d1 + c2 => ... => a1c1 + b1c1 + a2d2 + b2c2 = a1d1 + b1c1 + a2c2 + b2c2 => (a1c1 + b1c1, a1d1 + b1c1) ~ (a2ca + b2c2, a2d2 + b2c2) jetzt habe ich Schwierigkeiten, die Pünktchen zum füllen. Wie kann ich das GS umformen, damit die Gleichung rauskommt? Addieren klappt nicht, MUltiplizieren klappt nicht. Danke, Trilli |
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| 08.03.2006, 15:16 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kann nicht hinkommen, die Multiplikation müsste so definiert sein: (a,b) * (c,d) = (ac+bd, bc+ad) |
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| 08.03.2006, 19:46 | Trilli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hast recht, ich hab mich vertan: laut def: (a,b) * (c,d) = (ac+bd, ad+bc) dann habe ich z.z.: (a1,b1)~(a2,b2) und (c1,d1)~(c2,d2) => (a1c1 + b1d1, a1d1 + b1c1) ~ (a2c2 + b2d2, a2d2 + b2c2) => (a1,b1)*(c1,d1) = (a2,b2)*(c2,d2) (a1,b1)~(a2,b2) und (c1,d1)~(c2,d2) => a1 + b2 = b1 + a2 und c1 + d2 = d1 + c2 => ... => a1c1 + b1d1 + a2d2 + b2c2 = a1d1 + b1c1 + a2c2 + b2c2 => (a1c1 + b1d1, a1d1 + b1c1) ~ (a2c2 + b2d2, a2d2 + b2c2) und jetzt komme ich hier nicht weiter |
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| 08.03.2006, 20:23 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja das ist nicht unbedingt einfach zu sehen und ziemlich aufwändig hinzuschreiben. Zunächst als kleine Abkürzung: L = a1c1 + b1d1 + a2d2 + b2c2 R = a1d1 + b1c1 + a2c2 + b2c2 L = R ist das was wir zeigen wollen. Du nimmst dir nu die Gleichung a1+b2=a2+b1 und multiplizierst sie nacheinander mit c1,d1,c2 und d2. Du erhälst 4 Gleichungen von denen du die Seiten jeweils so addierst das die Ergebnisgleichung auf der linken Seite den Term L und auf der rechten Seite den Term R enthält. Die Ergebnisgleichung sieht ungefähr so aus L + A = R + B A und B sind die restlichen Terme. Das selbe machst du mit der Gleichung c1+d2=c2+d1. Also sukzessive mit a1,b1,a2 und b2 multiplizieren usw. Man erhält die Gleichung L + B = R + A Wenn man die jetzt addiert erhält man 2*L + A + B = 2*R + A + B, woraus L = R folgt (Kürzungsregel). |
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| 08.03.2006, 20:36 | Trilli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| geschafft Ja, da bin ich auch grad draufgekommen. Das ist aber auch kompliziert. Aber jetzt ist es dann doch ganz einfach. Wie immer in Mathe 
Ich finds toll, dass du mir so geholfen hast! Vielen Dank! |
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