konvergenzen

12.06.2008, 14:37	miau	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergenzen brauche hilfe bei folgenden sachen. zu zeigen für $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}, t\in\mathbb{C}, Re(t)>0 \end{eqnarray}$ 1. $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty \|e^{-tx^2}\|dx<\infty \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-t(x+n)^2} \end{eqnarray}$ konvergiert lokal gleichmäßig 3. $\begin{eqnarray} \sum_{k=-\infty}^\infty\left\|\sqrt{\frac{\pi}{t}}e^{\frac{-\pi^2k^2}{t}}\right\|<\infty \end{eqnarray}$
12.06.2008, 15:16	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvergenzen was hast du denn schon (teilweise) berechnen können?
12.06.2008, 15:29	miau	Auf diesen Beitrag antworten »
also beim integral hab ich mir folgendes überlegt, wenn $\begin{eqnarray} t=a+ib \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\|e^{-tx^2}\|dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{a}e^{-u^2}du=\sqrt{a \pi} \end{eqnarray}$
12.06.2008, 15:40	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
es muss wohl eher $\begin{eqnarray} 1/\sqrt{a} \end{eqnarray}$ heißen. aber sonst ist es ok. Und bei 2. und 3.?
12.06.2008, 16:02	miau	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau, $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{a}} \end{eqnarray}$ bei den anderen beiden sachen tappe ich noch im dunkeln. konvergenz solcher reihen war noch nie mein steckenpferd bei 3. sollte man ja auf jeden fall einiges rausziehen können: $\begin{eqnarray} \left\|\sqrt{\frac{\pi}{t}}e^{\frac{\pi^2}{t}}\right\|\sum_{k=-\infty}^\infty \|e^{-k^2}\| \end{eqnarray}$ die letzte summe müsste dann konvergieren, wenn das integral vorher auch schon konvergiert. wäre jedenfalls mein vorschlag.
12.06.2008, 17:36	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
mein vorgehen bei 2. wäre, eine von x lokal unabhängige konvergente majorante zu finden, so schwer ist das denke ich nicht. EDIT: in der 3. aufgabe kannst du nur den faktor $\begin{eqnarray} \sqrt{\pi/t} \end{eqnarray}$ aus der reihe ziehen!!!
Anzeige

12.06.2008, 18:50	miau	Auf diesen Beitrag antworten »
au ja, da hast du allerdings recht. bin trotzdem noch nicht weiter :-/
12.06.2008, 22:43	miau	Auf diesen Beitrag antworten »
hat da noch jemand ne idee für 2. oder 3.?
12.06.2008, 23:26	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
kennst du den zusammenhang zwischen reihen und uneigentlichen integralen? das würde dir hier weiter helfen!
12.06.2008, 23:59	miau	Auf diesen Beitrag antworten »
nee, sagt mir jetzt nichts.
13.06.2008, 12:17	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
das kriterium lautet folgendermaßen: Sei $\begin{eqnarray} f:[1,\infty)\to\mathbb{R}_+ \end{eqnarray}$ eine fallende Funktion. Dann gilt $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty f(n)<\infty\Leftrightarrow \int_1^\infty f(x)\ dx\ \text{existiert} \end{eqnarray}$ . Möglicherweise kannst du deine Aufgaben aber auch mit dem Majorantenkriterium erschlagen!
13.06.2008, 12:51	miau	Auf diesen Beitrag antworten »
an das majorantenkriterium hatte ich auch schon gedacht. mich stört aber immer die summe von -n bis +n. weil diese kriterien ja immer nur von oder 1 bis n definiert bin. und ich bin mir nicht sicher, ob ich die summe "aufspalten" darf.
13.06.2008, 13:43	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke schon, dass man das machen kann!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »