Erzeugendensystem, Beweis

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Daktari Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem, Beweis
Hi

ich komme bei dem Beweis der folgenden 3 Aussagen nicht weiter.
Sei V ein Vektorraum und B ein Erzeugendensystem von V
Sei W ein Unterraum von V
Seien U,T beliebige Unterräume von V mit U in T

1.)
2.) da W Unterraum von V
3.)

mit ist der Aufspann, die lineare Hülle, oder wie auch immer... (jedenfalls die Menge aller Linearkombinationen) gemeint

ich weiß dass für 2.) die Unterraumbedingungen geprüft wrden müssen.
Aber wenn die 0 im Aufspann von W liegen sollte,(mann muss nur alle Koeffizienten =0 setzen ), ist W doch linear abhängig

für 1.) könnte ich mit ein Element z.B. x aus dem Aufspann von B nehmen und es ale Linearkombination darstellen, aber wie mach ich dann weiter ?

Ich habe wirklich keine Ahnung Hilfe
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem, Beweis
Zitat:
Original von Daktari
ich weiß dass für 2.) die Unterraumbedingungen geprüft wrden müssen.


Nö. Du musst zeigen, dass .

Zitat:

Aber wenn die 0 im Aufspann von W liegen sollte,(mann muss nur alle Koeffizienten =0 setzen ), ist W doch linear abhängig

verwirrt Und was willst du damit sagen? Was hat lineare Abhängigkeit mit der Aufgabe zu tun? W ist linear abhängig wovon?
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich weiß dass für 2.) die Unterraumbedingungen geprüft wrden müssen.
Aber wenn die 0 im Aufspann von W liegen sollte,(mann muss nur alle Koeffizienten =0 setzen ), ist W doch linear abhängig


W ist ein Unterraum von V. Für einen Unterraum gibt es den Ausdruck der linearen Abhängigkeit wie du ihn meinst nicht. Der ist nur definiert für Vektoren. Du sagst ja auch nicht ist linear abhängig..macht ja auch keinen Sinn.

Ich würde an deiner Stelle erstmal bedenken, was denn der Aufspann eines Vektorraums ergibt. Also:

Sei W Vektorraum, was ist dann <W>?

Und dann nimmst du an, dass alle Unterräume von V auch Vektorräume sind.
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem, Beweis
Ich habe folgende Ansätze zu 2.) und 3.)
zu 2.) z.z. da W Unterraum von V
Seien Erzeugendensysteme von W bzw. V
Sei aber da weil ist

Aber ist die Behauptung damit gezeigt?

zu 3.) z.z.
gleiche Argumente wie oben


Aber Behauptung 1 schaffe ich immer noch nicht zu zeigen.
1.)

Sei
Hilfe Hilfe Hilfe Hilfe traurig Hilfe Hilfe Hilfe
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Also es kann gut sein, dass ich daneben liege. Aber meiner Meinung nach kannst du alle drei Punkte durch eine Sache beweisen. Nämlich indem du zeigst:

Für jeden Vektorraum V gilt:

<V> = V

Das sollte nicht schwer zu zeigen sein, denn die Vektorräume sind ja unter Linearkombinationen abgeschlossen.

Dann gilt nämlich:

1. <B> = V = <V> = <<B>>

2. <W> = W < V

3. <U> = U < T = <T>
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Tobias
Also es kann gut sein, dass ich daneben liege. Aber meiner Meinung nach kannst du alle drei Punkte durch eine Sache beweisen. Nämlich indem du zeigst:

Für jeden Vektorraum V gilt:

<V> = V

Das sollte nicht schwer zu zeigen sein, denn die Vektorräume sind ja unter Linearkombinationen abgeschlossen.


Meinst du so ?

 
 
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Ich weiß nur nicht, ob man die Summe nicht bis unendlich laufen lassen muss, da zum einen V nicht endlich erzeugt sein muss und zum anderen V nicht unbedingt endlich ist. Das beinhaltet dann aber alle abbrechenden Summen, denn man kann ja unter anderem implizit annehmen.
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Danke du hast mir damit sehr geholfen.
Kurz zu deiner Bemerkung mit "unendlich". Zumindest bei meinem Prof sind die Linearkombinationen nur für endlich viele Summanden definiert, d.h. K sei Körper
fast alle heist, bis auf höchstens endlich viele.

Da ich nun <V> = V gezeigt habe sind die Behauptungen 1) - 3) klar. Aber sind meine Ansätze für die ich "eine gute Zeit lang" gebraucht habe zu 2.) und 3.) auch korrekt?
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal sind deine Annahmen nur richtig, wenn die Vektorräume endlich erzeugt sind.

2.) und 3.) sind für mich formal nicht richtig, da du als Koeffizienten für beide Linearkombinationen benutzt und außerdem die Erzeugendensysteme V und W bei dir gleichviele Elemente haben.

Und hier:



hast du also angenommen auf der linken Seite.

Die Folgerungen werden dadurch zwar nicht ungültig, aber der Beweis setzt dann schon V = <V> voraus.
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