Homomorphismus finden |
13.06.2008, 21:48 | Mampf | Auf diesen Beitrag antworten » |
Homomorphismus finden ich muss einen injektiven Gruppenhomomorphismus von finden.. Eine Affinität lässt sich ja als Ax+b darstellen, wobei A (nxn)-Matrix und b ein n-dim. Vektor ist. Wie krieg ich daraus eine invertierbare Matrix? mir fällt leider nichts ein.. Gruß |
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13.06.2008, 22:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Homomorphismus finden http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenhomomorphismus Vielleicht sollte man sich die beiden Gruppen erst einmal genauer anschauen. Wie sehen denn die neutralen Elemente aus? |
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13.06.2008, 23:23 | Mampf | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Homomorphismus finden das neutrale element ist jeweils die identische abbildung/matrix, einmal mit n Zeilen u. Spalten u. einmal mit (n+1) Zeilen u. Sp. Der Vektor b in der Affinität wäre also der Nullvektor. Jezt ist die Frage: Wie komm ich von Id(n) auf Id(n+1)? Indem ich den Vektor b jeweils rechts und unten an Id(n) dranpacke und dann unten rechts noch eine 1 ergänze? Aber klappt das dann auch mit den anderen Matrizen? |
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13.06.2008, 23:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Homomorphismus finden Also schauen wir uns die beiden Gruppen einmal an. General linear Group (WikiArtikel H) Ok, das ist die Gruppe der invertierbaren (quadratischen) (n+1)x(n+1) Matrizen mit reellen Einträgen. die Verknüfung ist die Matrizenmultiplikation. Es gilt dann also Affine Abbildungen (WikiArtikel G) 1. Welche Verknüpfung liegt denn in dieser Gruppe vor? |
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14.06.2008, 07:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
@ Mampf Die affine Abbildung ist ja durch die invertierbare Matrix und die Spalte eindeutig bestimmt und kann daher mit dem Paar identifiziert werden. Ich schreibe kurz . Die Gruppenmultiplikation ist die Verkettung. Für zwei solche Abbildungen gilt daher Warum ist das so? Und dann tut man das Naheliegendste, ähnlich wie du selbst es schon vorgeschlagen hast. Man bildet das Paar auf eine Kästchenmatrix ab, und zwar so Nun wäre zu zeigen, daß das tatsächlich eine Abbildung in die allgemeine lineare Gruppe ist und daß daß diese Abbildung monomorph ist. |
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14.06.2008, 12:24 | Mampf | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke! Wenn ich 2 Affinitäten verkette, sieht das ja so aus: F(x) = Ax + b G(x) = Cx + d G(F(x)) = C(Ax+b) + d = CAx + Cb + d = (CA,Cb+d) Kann ich sagen, dass das Bild von (A,b) invertierbar ist, weil sich die Determinante nicht ändert, da in der letzten Zeile ja nur Nullen sind bis auf die 1 auf der Hauptdiagonalen? Die Monomorphie zu zeigen ist glaub ich nicht so schwierig, hab ich grad aufm Schmierblatt gemacht. |
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