analytische Geometrie

10.03.2006, 21:20

hopeless

analytische Geometrie

Habe folgendes Problem: Ich finde keinen Ansatz zu meiner Hausaufgabe!

Ein würfelförmiger Kasten der Kantenlänge 1m hat undurchsichtige Seitenflächen und ist oben geöffnet. Er steht im Ursprung eines Koordinatensystems.
Michael schaut vom Punkt P (4|3|3) aus in den Kasten. (nach meiner Zeicnung die hintere obere rechte Ecke des Würfels)

Welchen Teil QC der Würfel Kante OC (hintere linke Würfelkante, wobei O natürlich im Ursprung liegt) kann Michael sehen?

Die Ebene durch die Punkte R (obere vordere linke Ecke des Würfels -> (1|0|1)), S (1|1|1) und P (4|3|3) habe ich schon aufgestellt, weil dies als Hilfestellung gegeben war. Weiß jetzt aber nicht, wie ich weitermachen muss.
Kann mir bitte jemand helfen?!

10.03.2006, 22:53

sqrt(2)

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RE: analytische Geometrie

Zitat:

Original von hopeless
Ein würfelförmiger Kasten der Kantenlänge 1m hat undurchsichtige Seitenflächen und ist oben geöffnet. Er steht im Ursprung eines Koordinatensystems.

Damit gibt es nicht weniger als 8 Möglichkeiten, wo dieser Würfel stehen könnte.

Zitat:

Original von hopeless
Michael schaut vom Punkt P (4|3|3) aus in den Kasten. (nach meiner Zeicnung die hintere obere rechte Ecke des Würfels)

Wenn man davon ausgeht, dass 1 LE einem Meter entspricht, ist das gar keine Ecke des Würfels.

Kannst du entweder genau beschreiben, wo welcher Eckpunkt des Würfels ist (und diese Eckpunkte dann auch den Punkten C, P, Q, R und S zuordnen) oder eine entsprechende Zeichnung anhängen?

12.03.2006, 11:56

hopeless

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So .. neuer Versuch:

O (0|0|0)
B (0|1|0)
A (1|0|0)

R (1|0|1)
C (0|0|1)
S (1|1|1)

Die 2 übrigen Punkte sind nicht benannt und wahrscheinlich im ersten Moment auch nicht wichtig!

12.03.2006, 12:30

sqrt(2)

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Zunächst ist einmal festzustellen, dass die Fläche, an der R, S und A liegt, und die Fläche, an der S und B liegt, die Sicht des Beobachters einschränken. Man stellt daher zunächst die Gleichungen für ihre Oberkante und die Gleichung für die Kante, die der Beobachter nur sehen soll, aufzustellen.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rccrl}g:&\vec{x}_g&=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix},&\lambda\in[0,1]\\h:&\vec{x}_h&=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix},&\mu\in[0,1]\\i:&\vec{x}_i&=&\nu\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},&\nu\in[0,1]\end{array} \end{eqnarray*}$

Der Ansatz ist nun, jeweils die Gerade durch $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ zu finden, die sowohl $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ schneidet. Der Punkt $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ist dann jeweils der Schnittpunkt dieser Geraden mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . (Der Höhere von beiden ist natürlich dann der Punkt $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , der gesucht ist.)

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}+t(\overrightarrow{OP}-\vec{x}_g)=\vec{x}_i \end{eqnarray*}$

(Und das noch einmal mit der Geraden $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .)

12.03.2006, 14:59

hopeless

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Das verstehe ich nur bedingt:

die Geraden g und h beschreiben indirekt ja das gleiche wie eine Ebene durch die Punkte R, S und D (0|1|1), wäre es dann nicht auch einfacher eine Gerade zu bestimmen, die die Gerade i und die Ebene schneidet?
Wenn das so möglich ist, tut sich bei mir aber ein anderes Problem auf ... wo setze ich nämlich an?

Außerdem verstehe ich nicht, was $\begin{eqnarray*} \vec{x} g \end{eqnarray*}$ ist?!

12.03.2006, 15:14

sqrt(2)

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Zitat:

Original von hopeless
die Geraden g und h beschreiben indirekt ja das gleiche wie eine Ebene durch die Punkte R, S und D (0|1|1), wäre es dann nicht auch einfacher eine Gerade zu bestimmen, die die Gerade i und die Ebene schneidet?

Diese Ebene geht durch den gesamten Raum. Es gibt unendlich viele Geraden, die diese Ebene und die Gerade i schneiden, das wird dir nicht viel helfen.

Die Idee ist ja, den Blick des Beobachters am Punkt P die Oberkante der Würfelfläche (g bzw. h) "streifen" zu lassen und dann zu sehen, wo der Blick die Gerade i trifft.

Zitat:

Original von hopeless
Außerdem verstehe ich nicht, was $\begin{eqnarray*} \vec{x} g \end{eqnarray*}$ ist?!

Die Gerade g in Parameterdarstellung. Schau dir die Definition der Geraden oben an. Wenn dir das mit dem Gleichungssystem, das daraus entsteht, zu kompliziert ist, kannst du auch die Ebene aufstellen, die P und g (bzw. h) enthält und den Schnittpunkt dieser Ebene mit i bestimmen.

Speziell das letztere Verfahren kannst du dir mit einer Skizze leicht anschaulich machen.

12.03.2006, 15:55

hopeless

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Vielen Dank, ich glaube, ich habe es gelöst. Zumindest klingt meine Lösung logisch!

12.03.2006, 16:02

sqrt(2)

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Q(0|0|1/3) wäre richtig.

12.03.2006, 16:08

hopeless

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Super! Dank der Hilfe bin ich tatsächlich zum gleichen Ergebnis gekommen und konnte jetzt auch noch die nachfolgenden Aufgaben lösen! DANKE!

12.03.2006, 16:57

riwe

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alternative:
ich baue den sehstrahl g(PO): $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} t \end{eqnarray*}$
das einzige hindernis ist die vordere würfelseite, also die ebene E:x = 1.
schaue daher, ob ich drüber sehe, das liefert den schnittpunkt s(g,E) mit $\begin{eqnarray*} S_1(1/\frac{3}{4}/\frac{3}{4}) \end{eqnarray*}$ . daraus folgt, das auge bohrt sich in die undurchschaubare wand.
ich lasse nun den punkt S1 nach oben wandern, bis er genau auf der kante des würfels liegt, das ergibt
$\begin{eqnarray*} S_2(1/\frac{3}{4}/1) \end{eqnarray*}$
nun gerade h durch P und S2, geschnitten mit der z-achse, leiefert Q:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{9}{4} \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} s\Rightarrow t=-\frac{4}{3}\text{ und }s=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
und damit
$\begin{eqnarray*} Q(0/0/\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$
werner

12.03.2006, 18:59

hopeless

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Aber mit der Ebene, die sich durch die Punkte R (1|0|1), S (1|1|1) und P (4|3|3) darstellen lässt, löst das keiner von euch, oder?
Auf meinem Arbeitsblatt steht nämlich: "Hinweis: nehmen Sie zur Lösung des Problems die Ebene durch die Punkte R, S, und P zu Hilfe!"

Mich würde nur mal interessieren, wie das gehen würde!

12.03.2006, 19:19

riwe

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die eben durch R,S und P lautet:
2x - 3z + 1 = 0
geschnitten mit der z-achse (x = 0) liefert das
$\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{3}\Rightarrow Q(0/0/\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

werner

12.03.2006, 21:39

sqrt(2)

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... was übrigens nichts anderes als

Zitat:

Original von sqrt(2)
kannst du auch die Ebene aufstellen, die P und g (bzw. h) enthält und den Schnittpunkt dieser Ebene mit i bestimmen.

ist.

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