Sekantensatz

14.06.2008, 14:41	Linki	Auf diesen Beitrag antworten »
Sekantensatz Hallo, habe eine kurze Verständnisfrage. Ich soll die Umkehrung des Sekantensatzes zeigen, wäre das nicht rein theoretisch die Hinrichtung nur anders herum? Also ich fange dann mit dem Strahlensatz an und darüber hinaus kann ich dann auf die Ähnlichkeit der Dreiecke schließen und dann von dort darauf, dass die Punkte auf dem Kreis liegen oder mach ich es mir damit zu leicht?
15.06.2008, 00:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll hier umgekehrt werden? Wie lautet denn der Sekantensatz? * *) Das Produkt der Sekantenabschnitte bei von einem Punkt durch einen Kreis gelegten Sekanten ist konstant. Da dies kein Wenn ... dann .. -Satz ist, kann man diesen auch nicht so ohne weiteres umkehren. Überdies erscheint dies auch nicht sehr sinnvoll. Vielleicht kannst du deine Frage konkreter fassen, also z.B. wie der Satz im Originalwortlaut genau heisst, den du umkehren sollst. mY+
15.06.2008, 12:47	Linki	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz lautet: Liegen A, B, A', B' auf einem Kreis und ist P der Schnittpunkt der Geraden AB und A'B', so gilt: PAPB = PA'PB'. Und die Umkehrung ist ja demnach folgendes: Liegen A,B,A',B' auf zwei von P ausgehenden Strahlen und gilt PAPB = PA'PB', so liegen A,B,A',B' auf dem selben Kreis.
15.06.2008, 21:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir also an, daß von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ zwei Strahlen ausgehen, so daß die Punkte $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ auf dem einen und $\begin{eqnarray} A',B' \end{eqnarray}$ auf dem anderen Strahl liegen. Wenn $\begin{eqnarray} a,b,a',b' \end{eqnarray}$ jeweils die Abstände von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} A,B,A',B' \end{eqnarray}$ bezeichnen, soll zudem $\begin{eqnarray} a \cdot b = a' \cdot b' \end{eqnarray}$ gelten. Jetzt muß es einen Kreis $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ geben, der durch $\begin{eqnarray} A,B,A' \end{eqnarray}$ geht (Umkreis des Dreiecks $\begin{eqnarray} ABA' \end{eqnarray}$ ). Es sei $\begin{eqnarray} B^{} \end{eqnarray}$ der Schnitt von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ mit dem Strahl von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^{} \end{eqnarray}$ der Abstand von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} B^{} \end{eqnarray}$ . Verwende nun den Sekantensatz für $\begin{eqnarray} P,A,B,A',B^{} \end{eqnarray}$ sowie die Voraussetzung und vergleiche. Was folgt für $\begin{eqnarray} b',b^{} \end{eqnarray}$ und damit für $\begin{eqnarray} B',B^{} \end{eqnarray}$ ?
15.06.2008, 22:43	Linki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub, ich mache das gerade falsch... Wäre dann B* nicht A'? Habe dann folgendes: PA * PB = PA' * BB Und die Voraussetzung ist doch nur: PAPB = PA'*PB' Aber das sagt mir gerade gar nix...
15.06.2008, 23:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verwende die Bezeichnungen aus meinem Beitrag. Nach Voraussetzung gilt $\begin{eqnarray} ab = a'b' \end{eqnarray}$ Nach dem Sekantensatz gilt: $\begin{eqnarray} ab = a'b^{} \end{eqnarray}$ Gleichsetzen und Dividieren duch $\begin{eqnarray} a' \end{eqnarray}$ zeigt $\begin{eqnarray} b' = b^{} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} B' = B^{} \end{eqnarray}$ . Und damit geht der Kreis durch die Punkte $\begin{eqnarray} A,B,A' \end{eqnarray}$ auch durch $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray*}$ .
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15.06.2008, 23:12	Linki	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hatte ich es doch richtig verstanden, habe nur nicht weiter gedacht... Und das wäre der Beweis dafür, relativ einfach, aber kann man das nicht auch so zeigen: Es gilt: PA * PB = PA' * PB' (ab = a'b') Durch den Strahlensatz erhält man daraus dann folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{PB}{PA'} = \frac{PB'}{PA} \end{eqnarray}$ Dann folgt daraus, dass es zwei Dreiecke gibt PBA' und PAB', die den selben Winkel über P haben. Durch die gleichen Verhältnisse der Strecke sind auch die beiden anderen Winkel gleich und somit hat man ähnliche Dreiecke. Und das bedeutet, dass die Punkte alle auf einem Kreis liegen. ?

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