Wohldefiniertheit

14.06.2008, 19:59	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Wohldefiniertheit Hallo, Ist es notwendig, bei der von mir definierten und folgenden Abbildung Wohldefiniertheit zu zeigen? Habe da noch immer nicht ganz den Durchblick: $\begin{eqnarray} f: (U\otimes V)\times W\to (U\otimes V)\otimes W: (u\otimes v,w)\mapsto (u\otimes v)\otimes w \end{eqnarray}$ Mein erster Eindruck war, ja, denn wie auch bei Äquivalenzklassen habe ich doch bei Tensorprodukten Elemente, die gleich sind, aber durch gewisse Representanten ausgedrückt werden: $\begin{eqnarray} (u\otimes(\lambda v))\otimes w=((\lambda u)\otimes v)\otimes w \end{eqnarray}$ Und noch kurz ein kleiner Hinweis auf mein Thema von gestern: Hier edit: Habe in der Abbildung eine Kleinigkeit abgeändert (Klammern) Gruß
16.06.2008, 08:45	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Relationen, die in einem Tensorprodukt herrschen, sind im Allgemeinen völlig unüberschaubar, es wird deshalb für eine beliebige Abbildungsvorschrift aus dem Tensorprodukt heraus nicht möglich sein, auf Basis der Relationen zu überprüfen, ob sie wohldefiniert ist. Man definiert Abbildungen aus dem Tensorprodukt heraus eigentlich IMMER unter Verwendung der folgenden universellen Eigenschaft (ich nehme an, Du hast es mit Vektorräumen zu tun): Seien U,V,W K-Vektorräume. Zu jeder K-bilinearen Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha:U\times V\to W \end{eqnarray}$ existiert eine eindeutig bestimmte K-lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \beta:U\otimes_K V\to W \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} \beta(u\otimes v)=\alpha(u,v) \end{eqnarray}$ für alle u aus U, v aus V erfüllt. Wenn Du also eine Abbildung aus einem Tensorprodukt heraus erklären möchtest, versuchst Du zuerst, sie als Abbildung auf dem Produkt zu realisieren, zeigst von dieser dann die Bilinearität und bekommst mit der universellen Eigenschaft dann automatisch die Abbildung, die Du haben möchtest.

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