Determinante Leibnitzformel

13.03.2006, 11:24	Daktari	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante Leibnitzformel Hi Ich habe Verständnisprobleme mit der Leibnitz'schen Determinantenformel (Erklärung bitte ohne Permutationsmatrix) $\begin{eqnarray} det(A) = \|A\| = \sum_{}^{}~sgn \phi a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} \end{eqnarray}$ Wie zeige ich mit der Leibnitzformel folgende Sachverhalte. 1.1 Sei B die Matrix die aus A durch Vertauschen 2er Zeilen entsteht. dann ist det(B) = -det(A) 1.2 B entstehe aus A duch Multiplikation einer Zeile mit c != 0 dann ist det(B) = cdet(A) 1.3 die i-te Zeile von B entstehe aus A durch Addieren eines Vielfachen von Zeile j zu Zeile i Mit den Elementarmatrizen und det(AB) = detA det B kenn ich die Beweise, aber wie geht das mit der Leibntzformel ? zu 1.1 Ansatz/Vermutung: wenn man 2 Zeilen vertausch so ändert sich das Vorzeichen, weil sich der Fehlstand ändert. Bwp: 22 MAtrix $\begin{eqnarray} a_{11}a_{22} + a_{12}a_{21} \end{eqnarray}$ dies entspricht den Permutationen (1,2) und (2,1) der Fehlstand bei (1,2) ist 0 --> $\begin{eqnarray} sgn = (-1)^0 \end{eqnarray}$ und bei (2,1) ist er 1 --> $\begin{eqnarray} sgn = (-1)^1 = -1 \end{eqnarray}$ Hab ne Idee: Ich muss doch nur 2 Zeilen (nicht Spalten!!!) vertauschen um B zu bekommen. Sei B die Matrix, die entsteht, wenn man in A Zeile i und Zeile j vertauscht Sei A=(1,2,3,....,n-1,n) und sei B = (1,2,3,...,i-1,k,i+1,...,k-a,i,k+1,...,n) dann ist $\begin{eqnarray} <br /> det(B)= \sum_{}^{}~sgn \phi \\ _{1j_1}a_{2j_2}...a_{(i-1)j_{i-1}}a_{kj_{i}}a_{(i+1)j_{i+1}}...a_{(k-1)j_{k-1}}a_{ij_{k}}a_{(k+1)j_{k+1}}...a_{nj_n} \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich nur noch in der Summe 2 Faktoren Vertauschen (eine Inversion --> vorzeichen ändert sich um -1) und das "-" rausziehen. Dann steht da $\begin{eqnarray} det(B) = \sum_{}^{}~sgn \phi a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{(i-1)j_{i-1}}a_{kj_{i}}a_{(i+1)j_{i+1}}...a_{(k-1)j_{k-1}}a_{ij_{k}}a_{(k+1)j_{k+1}}...a_{nj_n} \\ = -\sum_{}^{}~sgn \phi a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} = -det(A) \\ q.e.d. \end{eqnarray}$ Ist das so in Ordnung? Idee zu 1.2 Sei i die Zeile die mit $\begin{eqnarray} c \neq 0 \end{eqnarray}$ multpliziert wurde dann ist $\begin{eqnarray} det(A) = \|A\| = \sum_{}^{}~sgn \phi a_{1j_1}a_{2j_2}...ca{1j_1}_...a_{nj_n} \end{eqnarray}$ da das c ein konstanter Faktor ist kann man ihn rausziehen und folgendes steht da $\begin{eqnarray} det(B) = \|A\| = \sum_{}^{}~sgn \phi a_{1j_1}a_{2j_2}...ca_{ij_1}...a_{nj_n}= c \sum_{}^{}~sgn \phi a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{ij_1}...a_{nj_n}= cdet(A) \end{eqnarray*}$ Für 1.3 habe ich keine Ahnung geht das überhaupt mit der Leibnitzformel ? P.S. Wie bekomme ich beim Texen <br/> weg ? (edit Jochen: die entstehen durch <enter> im Texcode; Zeilenumbrüche mit "\\"; habs für dich geändert!)
13.03.2006, 20:49	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Leibnitzformel Die Leibniz'sche Definition der Determinate schreibe ich so: $\begin{eqnarray} det(A) := \sum_{\sigma \in S_n}~sgn(\sigma ) a_{1, \sigma(1)}* a_{2, \sigma(2)} ... a_{n, \sigma(n)} \end{eqnarray}$ . (Ob die Permutation auf den Zeilen- oder Spaltenindex angewendet wird, ist egal, transponieren ändert ja nichts an der Determinante.) Wichtig erscheint mir, sich von dieser Formel zunächst eine Vorstellung zu machen. Summiert wird hier über alle Produkte von n Matrixelementen, wobei die Faktoren aus jeweils genau einem Matrixelement pro Zeile und Spalte ausgewählt werden. Deine Lösung zu 1.1 ist ok. Ich würde sie noch etwas "technischer" aufschreiben: Wenn auf die Spalten die Permutation $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ angewendet wird, gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{\sigma \in S_n}~sgn(\sigma) * a_{1, \sigma(\tau(1))}* ... * a_{n, \sigma(\tau(n))}\\ = sgn(\tau) * \sum_{\sigma \in S_n}~sgn(\tau) * sgn(\sigma) * a_{1, \sigma(\tau(1))}* ... * a_{n, \sigma(\tau(n))}\\ = sgn(\tau) * \sum_{\sigma \in S_n}~sgn(\sigma \circ \tau) * a_{1, \sigma~\circ~\tau(1)}* ... * a_{n, \sigma~\circ~\tau(n)} \\= sgn(\tau) * \sum_{\mu \in S_n}~sgn(\mu) * a_{1, \mu(1)} * ... * a_{n, \mu(n)} \end{eqnarray*}$ 1.2 und 1.3 kriegst du ähnlich raus, ich denke du bist hier nahe an einer Lösung. Grüße Abakus

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