Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen

Neue Frage »

Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen
Hallo, den Gauß auf Dreiecks Gleichung hab ich verstanden.

Nun verstehe ich noch nicht ganz wie ich bei einem Linearen Gleichungssytem mit unendlichen Lösungen, die Lösungen bestimmen kann.

1 3 -1 =4
0 -5 3 =-1
0 -10 6 = -2
0 0 0 =0
wie z.B bei diesem Gleichungungssystem,

das habe ich noch nicht ganz verstanden deshalb die Nachfrage!!!

Gruß Kira
Teutone Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest einen Parameter einführen und alle Lösungsvariablen in Abhängigkeit von ihm darstellen. Mehr ist nicht drin.
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie würde ich das genau machen ?

z:B


1+3-1=4

x1= 4-3+1

Parameter x2-7 x3 =2



x1= 27
x2=-7
x3=2

Könnte das so ungefähr gehen ?

Das müsste ich rein theoretisch auch mit den anderen Gleichungen machen können oder ?

Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
so trifft man sich wieder.

In deiner Endlösung ist ja kein Parameter drin. Daher steht sie mutterseelenalleine da. Mittels des Parameters deckst du ALLE Möglichkeiten ab.

Als Parameter kannst du entweder eine neue Bezeichnung (t) einführen, oder, wie die das auf der Seite mit dem Gauss gemacht haben, einfach eine der Variablen (z) nicht ausrechnen, sondern allgemein stehen lassen. Die anderen Variablen müssen dann alle in der allg. Variablen ausgedrückt werden. Danach erhältst du alle Lösungen, indem du für diese eine Variable beliebige Zahlen einsetzt.

Im anderen Thread wurde dir genau dieses Problem aber schon ausführlich erklärt.

mY+
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt noch mal ganz langsam t steht also für das Parameter

ich frage deshalb hier nocheinmal nach da ich das so nicht ganz verstanden habe !!!

Ich nehme als Beispiel nocheinmal mein Gleichungssystem das ich mit Gauß ermittelt habe

1 3 -1 =4
0 -5 3 =-1
0 -10 6 = -2
0 0 0 =0

wenn ich jetzt x1 ,x2, und x3 ermitteln möchte mache ich das wie ?


x1= 4+-3-1 die Gleichung habe ich nun nach x hin aufgelöst, aber für was setzte ich jetzt den Parameter ein.




Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens kannst du die letzte Zeile (Nullzeile) weglassen, weil diese bestätigt ja nur die Abhängigkeit der Gleichungen des System. Das geht deswegen, weil hier nur 3 Variable vorhanden sind, und dazu auch nur 3 Gleichungen erforderlich sind. Eine vierte Gleichung, die bezüglich der anderen Gleichungen redundant ist (dasselbe aussagt), und deswegen zu einer Nullzeile geführt hat, kann in diesem Falle weggelassen werden. Falls diese vierte Gleichung im Widerspruch zu den anderen 3 steht, dann entsteht auch keine Nullzeile und das ganze System hat keine Lösung.

Mit den Koeffizienten der verbleibenden 3 Gleichungen führst du nun den Gauß-Algorithmus weiter durch. Erst wenn wiederum Nullzeilen entstehen und dadurch die Anzahl der relevanten Gleichungen kleiner ist, als die der Variablen, kannst du einen Parameter einführen, aber nicht irgendwo mittendrin.

mY+
 
 
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich kann also nur einen Parameter einführen wenn ich Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Variablen.

Rechne mal kurz mit Gauß weiter kleinen moment

Hoffe ich habe jetzt richtig gerechnet

1 3 -1 =4
0 -5 3 =-1
0 0 0 =0

Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist das richtig smile
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok da war ich mir auch sehr sicher, schließlich muss es ja logisch sein.

Ok jetzt habe ich 2 Gleichungen bei drei Variablen also kann ich nun mein Parameter anwenden.

Wie gehe ich jetzt dabei vor ?

Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Haben wir das nicht schon dort besprochen?

Ich zeig' dir dennoch mal einen etwas anderen Weg, vielleicht verstehst du diesen besser.

.. 1. Gleichung mal 3; zu 2. Gleichung addieren

.. 2. Gleichung durch 4 div.



Die 2. Zeile kann man nun schreiben:

und daraus in ausdrücken:

ist Unbekannte und kann gleichzeitig als Parameter angesehen und daher stehen gelassen werden! Es ist genau dasselbe, wie wenn gleich einem neuen Parameter gesetzt wird: .

Berechne nun aus der 1. Zeile, die ja auch eine Gleichung darstellt, die letzte Variable (wiederum ausgedrückt in )

Damit sind alle drei Unbekannten - in Abhängigkeit von , welches gleichzeitig auch Parameter ist - angegeben. Die Variation von kennzeichnet die Gesamtheit der Lösungen.

Normalerweise wird jedoch für den Parameter eine neue Bezeichnung eingeführt, z.B. , was aber am Ergebnis nichts ändert, denn nun werden alle drei Unbekannten eben in ausgedrückt. Damit soll eine Abgrenzung zu den "echten" Unbekannten (x ..) vorgenommen werden, denn der Parameter ist eben keine Unbekannte, sondern eine beliebig wählbare Zahl.

x_1 = t
x_2 = ... (in t)
x_3 = ... (in t)

Die Variation von kennzeichnet wiederum die Gesamtheit der Lösungen.

mY+
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

(wegen )

x3= 3

x2=2

x1= 1 das müssten die Lösungen sein oder ?





..

reichen mir diese beiden Zeilen nicht, die Werte sind doch auch irgendwie abhänig von einader oder.

Ich kann ´die Rechenschritte alle verstehen, nur weiß ich leider noch nicht warum ich das unbedingt so machen muss


>Schau mir das morgen weiter an, sonst seh ich bald den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr

Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem letzten Post beziehst du dich wieder auf den Rechenweg im anderen Thread. Es kommt so immer zu Mißverständnissen.

Grundsätzlich gibt es eine unbegrenzte Anzahl von Möglichkeiten, die Lösung darzustellen; es ist auch egal, ob du nun von oder ausgehst.

Du hast aber den Kern der Sache, glaube ich, noch immer nicht auf der Reihe.
Du musst ZUERST alle 3 Variablen in Parameterform (in t) vorliegen haben, DANN kannst mittels verschiedener t-Werte einzelne Lösungstripel erstellen. Du schreibst jedoch an, danach unvermutet einzelne spezielle Werte, welche nicht stimmen, danach wieder .

Deine allgemeinen Lösungen stimmen nicht, du hast mit vertauscht, schreibe sie doch einfach untereinander und du bist fertig!






-----------------------------------------------------

Und nun kannst du (musst aber nicht) für t beliebige Werte einsetzen:

Mit ist: , also erzeugt das Tripel

Ich sehe, du hast nachträglich editiert:
Zitat:
Original von Kira 007
...


reichen mir diese beiden Zeilen nicht, die Werte sind doch auch irgendwie abhänig von einader oder.
...


Ja, sie würden im Prinzip auch schon reichen, aber sie sind UNabhängig voneinander. Sie enthalten aber beide noch alle drei Variablen, sodass du noch eine eliminieren musst. Nehmen daher jene Zeilen des nächsten Schrittes, die nach der Addition des 3-fachen der ersten zur zweiten Zeile entstanden sind:



Du musst nun nicht unbedingt durch 4 dividieren, wenn du auf einem anderen Weg umformen willst. Ausgehend von



-------------------------------

kannst du in der zweiten Gleichung eine dir genehme Variable durch t ersetzen und nach der anderen Variablen lösen. Mittels der ersten Gleichung dann noch ...


mY+
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Das glaube ich auch

Mache morgen weiter ist schon spät

Danke Mythos

Gruß Kira
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Mache ich





x1 =1




x2= 1,25 verwirrt

x3=

Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kira 007
Mache ich





x1 =1




x2= 1,25 verwirrt

x3=

Gruß Kira


Da hast du Fehler drin!
WAS hast du WO eingesetzt? Ich nehme an:
Dann sollte es bei dir so aussehen:





.. Klammer! Oder in LaTex: \frac{11-4 \cdot 2}{3}

x1 =1

Jetzt sind doch schon UND berechnet, fehlt

Zitat:



x2= 1,25 verwirrt


das ist ziemlich undurchsichtig!

aus der 3. Gleichung!



mY+
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke Mythos

Da ich an manchen Ecken noch Verständniss Probleme habe, nehme ich am besten einmal eine neue Aufgabe

x1 +2x3+x4 =2
x2-3x3+2x4=-5
0x1+0x2+0x3=0
0x1+0x2+0x3=0

Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Die letzten beiden Gleichungen bedeuten lediglich, dass keine weiteren auswertbaren Bedingungen für die 4 Variablen vorliegen. Darin sollte allerdings auch die Variable vorkommen, wenn das eine Matrix-Gleichung sein soll.

Irgendwie finde ich diese Angabe etwas behindert, wenn die dritte und vierte Gleichung (ohne ) doppelt dastehen, wer denkt sich so etwas aus?

Mit anderen Worten: Du hast (nur) zwei Gleichungen mit 4 Unbekannten. Falls die ersten beiden Gleichungen nicht abhängig sind (wenn sie abhängig sind, ergeben sich bei der Elimination 2 identische Gleichungen bzw. dann eine weitere Nullzeile): Wieviele Parameter kannst du hier frei wählen?

Na, dann mach mal ...

mY+
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir können geren auch eine andere Nehmen, nur leider hab ich nicht sofort eine auf Lager, wo von ich weiß das sie unendlich viele Lösungen hat.

Ansonsten müsste ich Gauß anwenden, wäre aber auch nicht schlimm den kann ich ja jetzt.

Hast Du vielleicht eine andere Aufgabe

Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst ohne weiters dieses Beispiel rechnen. Füge bei den letzten 2 Gleichungen einfach jeweils noch 0 x4 hinzu.

Es bleibt ohnehin dabei: 2 relevante Gleichungen, 4 Unbekannte.

Das LGS hat jedenfalls unendlich viele Lösungen, die du ähnlich dem vorigen Beispiel ermitteln kannst.

mY+
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

So

x1 +2x3+x4 =2
x2-3x3+2x4=-5
0x1+0x2+0x3+0x4=0
0x1+0x2+0x3+0x4=0






ich kann bei dieser Aufgabe 2 Parameter wählen, ich verstehe nur noch nicht warum ich zwei wählen kann ?


Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz einfach deswegen, weil du 4 Unbekannte hast, aber für eine eindeutige Lösung zwei Gleichungen zu wenig.

Wenn du die zweite Gleichung betrachtest, erkennst du, dass dort bereits nur noch drei Variablen vorliegen (wegen gibt's dort kein ), von denen du zwei mit zwei verschiedenen Parametern belegen kannst:





--> .... für oben einsetzen, ergibt
--> .... aus der ersten Gleichung folgt nach Einsetzen dann noch , fertig!

Um eine beliebige Lösung zu erhalten, setzt man nun für s, t beliebige Zahlen ein.

[Ein Kontrollergebnis: (-11 ; 4 ; 5; 3)]

mY+
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Super Mythos ich glaube ich kapiere die Sache langsam.

Die Anzahl der Parameter hängt also von der Anzahl der Variablen im Verhältnis zu den Gleichungen hab.

Auf die Ergebnis bin ich dann auch gekommen

Ich nehme an man wählt x3 und x4 als Parameter, da diese beiden variablen in beiden Gleichungen vor kommen.

Gruß Kira
geist Auf diesen Beitrag antworten »

hi, Kira,

wenn Du sagst:
"Die Anzahl der Parameter hängt also von der Anzahl der Variablen im Verhältnis zu den Gleichungen hab.",
so ist das schon auf eine Art richtig, auf eine andere auch wieder nicht.

Ich weiss nicht, was Du unter einem Parameter verstehst.
Für mich ist das einfach eine nicht ganz so variable Variable, etwas fester. Unter Variablen gibt es so eine Art Hierarchie, und freie Variable sind wie Flüssigkeiten, Parameter eher wie Pudding, während mein Kollege eher an Gefässe für Flüssigkeiten denkt.

Ich würde es einfach beginnen.

nimme einfach 0 * x1 = 0

Eine Gleichung, eine Variable, aber allgemeingültige Aussage und damit nichtssagend (wie die Personenbeschreibung: hat eine Nase und 2 Ohren). Jetzt sagst Du zu x1 Parameter, setzt dafür ein, was Du willst und fertig.

und so würde ich weitermachen.
Aber nur, wenn's Dir was hilft.

übrigens, das mit den Gefässen finde ich auch nicht schlecht. Aber ich denke eher an KartoffelbreiParameter, mit dem Du eine variable kleine Wanne bauen kannst, die dann eine feste Form bildet, und dann füllst Du die variable Sosse rein, die genau die Form davon ausfüllt, aber flüssig bleibt.
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich das jetzt wohl verstanden habe, möchte ich es aber lieber noch einmal testen, damit ich sich gehen kann.

Es geht nur um den Gauß mit unendlichen Lösungen.

Hat jemand vielleicht noch eine Aufgabe mit unendlichen Lösungen für mich, damit ich nocheinmal die Lösungsmenge ermitteln kann ?

Gruß Kira
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »



Hinweis: Das LGS ist abhängig, hat also mehr als eine Lösung.

mY+
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »