Teilraum

14.03.2006, 14:27

manifold

Teilraum

Ich hab hier folgendes Problem.

Ich glaube, dass diese Menge kein Untervektorraum des Vektorraumes R^2 ist:
M={(a,b) aus R^2| 3a+5b+2ab=0}

Die Paare bzw. Vektoren (a,b) dieser Menge beschreiben, wie es aussieht, eine Hyperbel. Anschaulich ist es klar, dass wenn wir z.B. zwei solcher Vektoren nehmen, die die Punkte der Hyperbel beschreiben, ihre Summe keinen Punkt angeben kann, der ebenfalls auf der Hyperbel liegt.

Ich kann aber irgendwie keine gescheite algebraische Erklärung dafür geben, dass das Unterraumkriterium nicht erfüllt ist.

Wenn ich z.B. zuerst die Summe bilde: (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d), wo die Paare (a,b),(c,d) jeweils die Gleichung erfüllen, und behaupte, dass 3(a+c)+5(b+d)+2(a+c)(b+d)=0, dann müsste es doch heißen, nachdem ich die Gleichungen für (a,b) und (c,d) addiert und mit der für den Summenvektor verglichen hab, dass: ab+cd=(a+c)(b+d) bzw. cb=-ad. Gibt es mir was?

Ich hab auserdem probiert, einen Vektoreintrag durch den anderen auszudrücken, und dann gucken, was passiert. Doch das hat mich nicht wesentlich weiter gebracht.

Ist diese Denkrichtung überhaupt richtig?

14.03.2006, 15:49

manifold

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vielleicht reicht nur ein Gegenbeispiel mit einem Vektor (a+c,b+d), der die Gleichung nicht erfüllt, wobei aber (a,b) und (c,d) derselben genügen?? Und vielleicht analog bei der Multiplikation mit einer reellen Zahl vorgehen?

14.03.2006, 17:14

manifold

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Kann ich unter Voraussetzung, dass (a,b),(c,d) die Gleichung erfüllen, die Zugehörigkeit der Punktes (a+c,b+d) der Hyperbel so überprüfen?

Wenn ich jeweils den einen Vektoreintrag durch den anderen ausdrücke, dann stell ich fest, dass b,d ungleich -3/2 sein müssen, bzw. wenn ich's umgekehrt mache, dann a,c ungleich -5/2. In beiden Fällen muss also entweder b+d ungleich -3 oder a+c ungleich -5 sein. Das steht im Widerspruch zu der Forderung, dass b+d ungleich -3/2 bzw. a+c ungleich -5/2 sind, damit sich die Punkte (a+c,b+d) finden, die ebenfalls auf der selben Hyperbel liegen.

Analog mache ich dann mit der Multiplikation. Für t ungleich 1 muss gelten: (a,b) aus M => (ta,tb) aus M. Aber die Forderung, dass -3/2*t=-3/2 bzw. -5/2*t=-5/2 die Werte sind, für die die Gleichung nicht erfüllt ist, geht ja nur dann, wenn t=1. Wieder Widerspruch.

Ich weiß nicht, die Begründung is zwar billig, aber gleichzeitig unschön. Gibt's da was schöneres?

14.03.2006, 17:35

Abakus

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Das beweist oder widerlegt noch nichts. Ich schlage dir folgendes vor:

1. Gib 2 linear unabhängige Vektoren in M konkret an.

2. Folgere, wenn M ein Untervektorraum sein soll, muss $\begin{eqnarray*} M = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gelten.

3. Gebe einen Vektor an, der nicht in M enthalten ist.

Grüße Abakus smile

14.03.2006, 18:07

manifold

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Also doch mit einem Gegenbeispiel!

Hm...Warum ist aber M=R^2 in diesem Fall notwendig dafür, dass M Teilraum ist?? Eine Gerade durch den Ursprung is nicht R^2, is darin enthalten, und trotzdem ein Teilraum davon.

14.03.2006, 18:22

Abakus

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Zitat:

Original von manifold
Also doch mit einem Gegenbeispiel!

Für eine Widerlegung reicht ein Gegenbeispiel.

Zitat:

Warum ist aber M=R^2 in diesem Fall notwendig dafür, dass M Teilraum ist?? Eine Gerade durch den Ursprung is nicht R^2, is darin enthalten, und trotzdem ein Teilraum davon.

Stimmt. Aber der Teilraum mit der Gerade enthält keine 2 linear unabhängigen Vektoren. Der Teilraum muss mit 2 unabhängigen Vektoren die Dimension 2 haben.

Grüße Abakus smile

EDIT: bei 2. habe ich natürlich vorausgesetzt, dass du die 2 linear unabhängigen Vektoren bereits gefunden hast.

16.03.2006, 00:37

manifold

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Hattest du etwa das hier im Kopf? Ich hab's aber vielleicht allgemeiner gemacht...

Seien $\begin{eqnarray*} \displaystyle{a_1\choose{b_1}},\displaystyle{a_2\choose{b_2}}\in{\mathbb{R}}^2 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} 3a_1+5b_1+2a_1b_1=0,3a_2+5b_2+2a_2b_2=0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} 3(a_1+a_2)+5(b_1+b_2)+2(a_1+a_2)(b_1+b_2)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} \lambda\displaystyle{a_1\choose{b_1}}+\mu\displaystyle{a_2\choose{b_2}}=\displaystyle{\lambda{a_1}+\mu{a_2}\choose{\lambda{b_1}+\mu{b_2}}}\in{M} \end{eqnarray*}$
und nach der Umformung der vorletzten Gleichung: $\begin{eqnarray*} a_1b_2+a_2b_1=0 \end{eqnarray*}$ .
Mit der dieser Gleichung folgt aber, dass $\begin{eqnarray*} \lambda=a_2=b_2,\mu=a_1=b_1 \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, dass, damit M ein Teilraum von R^2 ist, mindestens einer der Vektoren der Nullvektor sein muss. Der jeweils andere darf folglich ein beliebiger Vektor aus R^2 sein. Somit gilt aber: $\begin{eqnarray*} M={\mathbb{R}}^2 \end{eqnarray*}$ , was sich sehr leicht mit einer Menge von Gegenbeispielen widerlegel lässt. Wink

16.03.2006, 01:23

Abakus

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Zitat:

Original von manifold
Seien $\begin{eqnarray*} \displaystyle{a_1\choose{b_1}},\displaystyle{a_2\choose{b_2}}\in{\mathbb{R}}^2 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} 3a_1+5b_1+2a_1b_1=0,3a_2+5b_2+2a_2b_2=0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} 3(a_1+a_2)+5(b_1+b_2)+2(a_1+a_2)(b_1+b_2)=0 \end{eqnarray*}$ .

Das reicht nicht. Du musst schon zeigen, dass solche Vektoren überhaupt existieren.

Zitat:

Dann $\begin{eqnarray*} \lambda\displaystyle{a_1\choose{b_1}}+\mu\displaystyle{a_2\choose{b_2}}=\displaystyle{\lambda{a_1}+\mu{a_2}\choose{\lambda{b_1}+\mu{b_2}}}\in{M} \end{eqnarray*}$
und nach der Umformung der vorletzten Gleichung: $\begin{eqnarray*} a_1b_2+a_2b_1=0 \end{eqnarray*}$ .
Mit der dieser Gleichung folgt aber, dass $\begin{eqnarray*} \lambda=a_2=b_2,\mu=a_1=b_1 \end{eqnarray*}$ .

Wieso kann nicht $\begin{eqnarray*} a_1 = -a_2, b_1 = -b_2 \end{eqnarray*}$ sein? Oder beide Vektoren sind Nullvektoren?

So auf die Schnelle sehe ich nicht, wie du hier weiter folgerst.

Meine Argumentation wäre gewesen:

Angenommen M ist ein Teilvektorraum.

Es sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} \in M \end{eqnarray*}$ . Diese Vektoren sind linear unabhängig.

Es ist daher $\begin{eqnarray*} M = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist kein Element von M. Widerspruch!

Grüße Abakus smile

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