Grenzwerte zweier Folgen

07.05.2004, 23:46

rohrfuß

Grenzwerte zweier Folgen

Huhu,

bin relativ neu auf dem Gebiet der Analysis traurig

Deshalb bereitet mir das Berechnen des Grenzwertes der beiden u.a. Folgen noch etwas Schwierigkeiten. Wäre nett wenn mir das einer vorrechnen könnte Augenzwinkern

a)
$\begin{align*} \frac{1-(1-\frac{1}{n})^3}{1-(1-\frac{1}{n})} \end{align*}$

b)
$\begin{align*} (\frac{n+1}{n} )^n \end{align*}$

Das Problem ist, ich habe die (angeblich) richtigen Ergebnisse. Im Falle a) soll a(n) gegen 3 konvergieren, im Falle b) gegen e.

Mit bestem Dank im voraus smile

)

08.05.2004, 19:18

Philipp-ER

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Moin.
Ich nehme an, ihr habt die Grenzwertsätze zur Verfügung.
Verwende dann bei a) die Formel
$\begin{align*} \frac{a^n-b^n}{a-b}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k} \end{align*}$
Bei b) müsste man wissen, wie ihr denn die eulersche Zahl definiert habt, denn eigentlich steht dort gerade eine Definition von ihr, wenn man einfach $\begin{align*} (\frac{n+1}{n})^n=(1+\frac{1}{n})^n \end{align*}$
beachtet.

08.05.2004, 19:27

LarsB.

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Zu a):

Aumultiplizieren, umformen, kürzen bis man keinen unbestimmten ausdruck mehr hat und dann n gegen unendlich gehen lassen.

Lars

08.05.2004, 19:30

kreativsteffi

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zu b) 1/n wird ja 0, d.h.: (1-0)^n = 1^n = 1

bei a) überleg ich mir grad was^^

08.05.2004, 20:18

Philipp-ER

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Zitat:

Original von kreativsteffi
zu b) 1/n wird ja 0, d.h.: (1-0)^n = 1^n = 1
...

Zeig' mir bitte den Satz, nach dem gilt:
$\begin{align*} \lim (a_n)^n=\lim (\lim\,a_n)^n \end{align*}$

08.05.2004, 20:23

LarsB.

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was steffi geschrieben hat stimmt auch nicht.

08.05.2004, 20:32

kreativsteffi

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mmmhhh stimmt, habt recht........war ja auch keine funktion sondern eine folge.......

08.05.2004, 20:36

Philipp-ER

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Eine Folge ist eine Funktion. Doch was hat das damit zu tun?

10.11.2004, 01:45

Ameise

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RE: Grenzwerte zweier Folgen
zu a) ausmultiplizieren mit Binom: $\begin{eqnarray*} (a-b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3} \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = 1^{3}- 3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + 3(\frac{1}{n})^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -(\frac{1}{n})^{3} \end{eqnarray*}$ und damit im Zähler:

$\begin{eqnarray*} 1 - (1-\frac{1}{n})^{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = 3\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - 3(\frac{1}{n})^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + (\frac{1}{n})^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} im Nenner: 1 - (1-\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Zähler durch Nenner ergibt damit: $\begin{eqnarray*} 3-3\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + 3(\frac{1}{n})^{2} \end{eqnarray*}$ . Der Grenzwert davon ist offensichtlich 3

zu b) $\begin{eqnarray*} \frac{1+n}{n} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Mit hoch n ist das ein Binom mit allen gemischten Gliedern! Deshalb kann nicht 1 + 0 resultieren, weil mit höherer Potenz auch die Anzahl der gemischten Glieder steigt. Wink

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