Differenzierbar=>stetig

14.03.2006, 19:56

Differenzierbar=>stetig

wollte grad ma fragn, obs korrekt sit...ich habe morgen ne klausure vor mri, deswgn Augenzwinkern

also...wenn ne fkt diff ist, is sie stetig...das soll ich herleiten...mein ansatz..

das hier is der diff-quotient
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

wenn man nun limitiert, laeuft der nenner ggn 0. wenn es differenzierbar ist, dann laeuft auch der zaehler ggn 0, ansonsten gibt es keine loesung (durch 0 darf man nich teilen....)

also nimmt man an, wenn s diffe ist, laeuft der zaehler ggn 0 beim limitieren

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

wenn man das nun umfort kriegt man nix anderes, als die definition der stetigkeit heraus Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$

das waere jetz mein ansatz

14.03.2006, 20:48

JochenX

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RE: Differenzierbar=>stetig

Zitat:

Original von TB
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

wenn man das nun umfort kriegt man nix anderes, als die definition der stetigkeit heraus Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$

mit dem fehlenden m in umformen hast mich grad gut beschäftigt Augenzwinkern

zunächst hast du $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}~ [f(x)-f(x_0)]=0 \end{eqnarray*}$
beachte nun: nur, wenn die Grenzwerte existieren, darfst du hier zerrupfen, dass also f(x_0) aus IR (und nicht etwa unendlich) ist, würde ich dazusagen.
Danach kannst es (da konstant ohne limes!) auf die andere Seite bringen......

und dann stehts ja da, ist ja richtig smile

14.03.2006, 21:20

Leopold

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@ TB

Deine Argumentation ist prinzipiell richtig. Aber setze bitte auch Klammern und halte dich an die sonstigen Formalien (es heißt z.B. nicht "limitieren" - das erinnert doch zu stark an Mängelverwaltung -, sondern "den Limes bilden").

Man kann dein Argument noch etwas einfacher aufschreiben. Beachte die folgende Umformung

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0) \end{eqnarray*}$

Und jetzt beachte, daß man Grenzwerte gliedweise (also produktweise, summandenweise usw.) berechnen kann, sofern die Grenzwerte der Glieder existieren. Laß also mit anderen Worten in dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ gehen.

15.03.2006, 15:45

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ahos...gut, habe ich verstanedn Augenzwinkern

@loed: ja...manchma tipp ich ebenzu schnell in der hoffnung ich gewinne irgendwo anders noch zeit Big Laugh

@leopold: hmm... mein lehrer benuttz das immer, deswgn hab ich gedacht, ich kann das so sagen...oder er sagt es nich und ich mach daraus ein verb! ^^
aba dein post habsch ncih ganz verstanden...soll ich mit deinem term noch mal die differenzierbarkeit etc beweisen? oder wie soll ich das verstehen?

15.03.2006, 15:48

Mathespezialschüler

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Du sollst einfach $\begin{eqnarray*} x\to x_0 \end{eqnarray*}$ gehen lassen. Auf der rechten Seite ist $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ natürlich konstant, das bleibt also. Wogegen geht denn $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ , was ist also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ ?

Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}(x-x_0) \end{eqnarray*}$ sollte auch nicht schwierig sein.

Gruß MSS

15.03.2006, 15:50

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das eine ist doch quasi der diff.quotient
das andere...kommt dann da nich 0 raus?

das glaube ich ist aber nich so ganz, was gesucht ist, oder?...

15.03.2006, 15:52

Mathespezialschüler

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Doch natürlich. Denn dann steht doch da:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}\left(f(x_0)+\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\to x_0}f(x_0)+\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot \lim_{x\to x_0}(x-x_0)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot 0=f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Und das ist doch gerade die Definition der Stetigkeit!

Gruß MSS

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