Komplanarität ohne konkrete Werte beweisen

17.06.2008, 13:39	Gaste1235	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplanarität ohne konkrete Werte beweisen Hallihallo, bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter: *$\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ = 3 $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ - 2* $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ ) vek(b)= $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ vek(c)= 2* $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$** Man soll zeigen, dass die Vektoren a, b und c komplanar sind. Mir ist schon klar, wie ich das anstellen soll, aber nach ewiger Rumrechnerei komme ich da leider nicht auf die gewünschte Lösung, dass det(a, b, c) =0 ist. So bin ich vorgegangen: Hab aus der Angabe ein Gleichungssystem gemacht, die Vektoren u und v habe ich mir als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und analog dazu v, definiert. Also ist beispielsweise der Vektor a : 3* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ - 2* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Als Koeffizienten habe ich k1, k2 und k3 gewählt. Meine Determinante sieht dann folgendermaßen aus: 3u1-2v1 ... u1+v2 ... 2u1-v1 3u2-2v2 ... u2+v2 ... 2u2-v2 3u3-2v3 ... u3+v3 ... 2u3-v3 Danach habe ich versucht, die Determinante zu lösen, in der Hoffnung, dass 0 rauskommt, aber dem ist leider nicht so ... Liegt das jetzt eher an nem Rechenfehler oder ist meine ganze Vorgehensweise falsch? Hoffentlich kann mir hier jemand weiterhelfen ... Vielen, vielen Dank schonmal! Franzi
17.06.2008, 14:39	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht da nichts mehr über die Vektoren u und v ? Also ob sie linear abhängig oder unabhängig sind ? Gruß Björn
17.06.2008, 15:21	Gaste1235	Auf diesen Beitrag antworten »
... Nein, da steht nicht mehr da ... aber der Vektor a, u und w werden doch linear abhängig sein, da der Vektor a ja als Linearkombination von u und v darstellbar ist, oder?
17.06.2008, 15:24	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss eigentlich gar nicht rechnen: Wenn u und v linear abhängig sind (aber nicht beide Null sind), spannen sie einen eindimensionalen Untervektorraum auf. a,b,c sind 3 Vektoren daraus. Wenn sie linear unabhängig sind, spannen sie einen zweidimensionalen Untervektorraum auf. a,b,c sind 3 Vektoren daraus. edit: Bevor jemand wieder Erbsen zählt: Es gibt noch den trivialen Fall, dass u und v beide dem Nullvektor entsprechen
17.06.2008, 16:54	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
oder man berechnet - wenn man rechnen will - das spatprodukt: $\begin{eqnarray} \vec{d}=\vec{b}\times\vec{c}=4\cdot \vec{v}\times\vec{u} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S=\vec{d}\cdot\vec{a}=0 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray} \vec{d} \end{eqnarray}$
17.06.2008, 17:55	Gaste1235	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten. Im Sinne der Aufgabenstellung ist es, glaub ich, aber dann doch eher mit Rechnen gewollt (eure beiden Vorschläge haben wir im Unterricht noch gar nicht behandelt...). Mir gehts es jetzt nur darum, ob es überhaupt sein kann, dass man die Aufgabe so wie ich oben beschrieben habe lösen kann?! Wenn ja, werd ich's nochmal versuchen, wenn nein, dann war's wahrscheinlich auch kein Rechenfehler..
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17.06.2008, 18:04	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die Aufgabe durchaus auch mit deinen Mitteln lösen. Lasse doch einfach mal u und v weg: $\begin{eqnarray} \vec{a} = \binom{3}{-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{b} = \binom{1}{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c} = \binom{2}{-1} \end{eqnarray}$ Finde $\begin{eqnarray} r,s,t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r \vec{a} + s \vec{b} + t \vec{c} = \vec{o} \end{eqnarray}$ Wenn du dann u und v wieder dazu schreibst und die 3 Vektoren mit diesen Zahlen multiplizierst und sie dann addierst, kommt der Nullvektor raus, da alle u und v wegfallen.
17.06.2008, 18:11	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
so würde ich es auf keinen fall versuchen dann zeige halt, dass gilt $\begin{eqnarray} a_1\vec{a}+a_2\vec{b}+a_3\vec{c}=\vec{o} \end{eqnarray}$ mit den üblichen bedingungen für die $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ , indem du benützt, dass $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind, ansonsten ist es eh trivial (eine) lösung $\begin{eqnarray} a_1=a\quad{ }a_2=-\frac{a}{5}\quad{ }a_3=-\frac{3a}{5} \end{eqnarray}$

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