Orthogonalität zweier Ebenen

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Prinsesschen Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität zweier Ebenen
Hallo.

Ist jmd. so gut und erklärt mir, wie ich die Orthogonalität zweier Ebenen zueinander untersuchen kann? [also damit überprüfe ich ja, ob die Ebenen senkrecht zueiander stehen?!]

Gruß,
Prinsesschen
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

habt ihr bereits den Normalenvektor eingeführt?
Prinsesschen Auf diesen Beitrag antworten »

jap, hatten wir schon.
der Vektor ist Normalenvektor der Ebene E, wenn er senkrecht zu zwei Spannvektoren zur Ebene E ist
smile das war doch so, oder?

[B]Edit: Und den Satz, dass zwei Ebenen zueinander senkrecht sind, wenn ihre Normalenvektoren zueinander senkrecht sind, kenne ich auch.
Nur bekomm' ich das alles nicht angewandt =\
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist doch richtig.

Dein Problem ist also genauer, wie man zwei Vektoren auf Orthogonalität untersucht?

Schau dir dazu nochmal das Skalarprodukt an. Wikipedia erwähnt genau das, was du brauchst auch, wenn du mal nach "senkrecht" suchst Augenzwinkern
Prinsesschen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
Werde mir das mal genauer anschauen und mich bei Bedarf ggf. noch einmal melden.

EDIT:
Hab mir das jetzt angeschaut, aber ich verstehs trotzdem nicht.
wenn ich jetzt zwei Ebenen habe (die sind jetzt ausm Buch), zB.




wie kann ich jetzt überprüfen, ob diese Ebenen senkrecht (=orthogonal) zueinander sind? was muss ich jetzt zuerst tun? muss ich nicht von der zweiten Ebene die Variablen ändern? verwirrt
suziheizer32 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vektor der auf beiden Spannvektoren einer Ebene senkrecht steht ist der Normalenvektor der Ebene.

z.B fuer E1



Beide Vektoren stehen jeweils senkrecht auf den Ebenen.

Wenn du pruefen willst ob die Ebenen orthogonal sind muss nun



erfuellt sein. (das Skalarprodukt verschwindet wenn Vektoren orthogonal zueinander)
 
 
David_pb Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Skalarprodukt kannst du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen:



Wenn also beide Vektoren "orthogonal" zueinander stehen (im 90° Winkel) dann gilt: .
Prinsesschen Auf diesen Beitrag antworten »

das verstehe ich nicht!
wenn ich für die Ebenen n1 und n2 ausrechne, dann kommt da hinter 0 raus .. also, dass die Ebenen zueinander orthogonal sind.. allerdings steht in meinem Lösungsbuch, dass die beiden Ebenen nicht senkrecht zueinander sind -.-
unglücklich ich versteh nicht was ihr meint. bin nicht so gut in Mathe, könnt ihr das einfacher erklären? und welcher ist überhaupt der Spannvektor?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lauten denn deine jeweiligen Normalenvektoren von E1 und E2 ?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Naja eine Ebene ist (in Parameterform) durch einen Punkt und zwei Spannvektoren gegeben : E :
Ein normal Vektor auf die Ebene muss folglich normal auf die beiden Vektoren stehen. Diesen Vektor ermittelt man über das Kreuzprodukt (wenn du näheres dazu wissen willst frag einfach nochmal).

Auf diese Art bildest du auf beide Ebenen einen Normalvektor. Wenn deren skalares Produkt (n1 mal n2 ) wircklich Null ergiebt dann stehen die Ebenen auch senkrecht zueinander.

Rechne am besten mal die zwei normalvektoren aus und poste das Ergebnis hier rein dann können wir sehn ob du einen Fehler gemacht hast ...

lg Felix
Prinsesschen Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Normalenvektoren sind folgende:




hier muss dann irgendwas schief gelaufen sein unglücklich . .
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deine Normalenvektoren sind leider falsch.
Ist halt die Frage wie du sie berechnest, es gibt da mehrere Möglichkeiten.

Kreuzprodukt oder mit einem kleinen Gleichungssystem ?

Gruß Björn
Prinsesschen Auf diesen Beitrag antworten »

die Möglichkeit mit dem Gleichungssystem, bitte :-)
Kreuzprodukt ist mir neu.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut Prinsesschen, da ich grad bester Laune bin wegen der EM mach ich dir das mal für die eine Ebene vor und du versprichst mir, dass du es für die andere alleine analog versuchst ok ? Augenzwinkern

Für E1:

Also ein Normalenvektor steht senkrecht zu der Ebene, somit auch senkrecht zu den beiden Spann- bzw Richtungsvektoren der Ebene.
Wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, dann ist ihr Skalarprodukt gleich null.
Demnach muss für einen Normalenvektor von E1 gelten:




und




Aus der 2. Gleichung folgt

Eingesetzt in die 1. Gleichung ergibt das:



Nun wählt man z.B. n3=2 und erhält diesen Normalenvektot für die Ebene E1:



Ich hoffe das hilft dir weiter =)

Gruß Björn
Prinsesschen Auf diesen Beitrag antworten »

hey :-)
ja danke, das verstehe ich wirklich.
& so hatten wir das auch an der Tafel gemacht, nur hatte ich Blöde nicht mitgeschrieben .. dankeschön! smile
David_pb Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal das Kreuzprodukt zweier Vektoren:

Also:
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

(Das Prinzesschen kommt aus Nordrhein-Westfalen. Dort ist das Kreuz- bzw. Vektorprodukt nicht obligatorischer Bestandteil des Lehrplans. Allenfalls in Leistungskursen kann es behandelt werden; es ist aber auch dort nicht verpflichtend.)
David_pb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheWitch
(Das Prinzesschen kommt aus Nordrhein-Westfalen. Dort ist das Kreuz- bzw. Vektorprodukt nicht obligatorischer Bestandteil des Lehrplans. Allenfalls in Leistungskursen kann es behandelt werden; es ist aber auch dort nicht verpflichtend.)


Oh, ist das so? Schade eigentlich, ist doch ein wunderbares Mittel!
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