Determinantenbeweis mit der Mutilinearform

19.03.2006, 23:07

Daktari

Determinantenbeweis mit der Mutilinearform

Hi

Wie zeigt man mit der Multilinearform, dass die Determinante einer Matrix = 0 ist wenn sie 2 gleiche Zeilen hat ?

Ich kenn die Definition der Determinante $\begin{eqnarray*} =D(\phi) \end{eqnarray*}$ eines Endomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \ von \ V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(\phi) = \frac{f(\phi (v_1),... \phi (v_n)}{f(v_1 ,..., v_n} \end{eqnarray*}$
Aber das nützt mit nix...
Bitte helft mir Hilfe

Aber bitte keine Sprüche à la "setz doch mal ein", denn ich weiß ja net mal was ich da einsetzen muss traurig

20.03.2006, 00:28

Ben Sisko

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RE: Determinantenbeweis mit der Mutilinearform
Hallo Daktari,

kannst du eure Definition der Determinante nochmal genauer aufschreiben?
Zumindest ich kann damit so nichts anfangen (geht es jemandem anders?).

Nur aus der Multilinearität lässt sich jedenfalls nicht zeigen, dass die Determinante 0 ist, wenn zwei Zeilen gleich sind. Definiert man eine Determinantenabbildung mit den drei Eigenschaften multilinear, alternierend (=0, wenn zwei gleiche Zeilen) und normiert, so kann man zeigen, dass diese eindeutig ist.

Gruß vom Ben

20.03.2006, 01:17

Daktari

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RE: Determinantenbeweis mit der Mutilinearform

Zitat:

Original von Ben Sisko
Hallo Daktari,

kannst du eure Definition der Determinante nochmal genauer aufschreiben?
Zumindest ich kann damit so nichts anfangen (geht es jemandem anders?).

Gruß vom Ben

Das mach ich doch gerne smile

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K der Dimension n, und sei $\begin{eqnarray*} \phi : V->V \end{eqnarray*}$ ein K-Homomorphismus

Die Determinante $\begin{eqnarray*} D(\phi) \end{eqnarray*}$ des Endomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ von V wird folgendermaßen definiert:
Man wähle eine von der Nullform verschiedene n-fach alternierende Multilinearform f auf V. Eine solche existiert (wegen Satz...). Dann setzt man

$\begin{eqnarray*} D(\phi) = \frac{f(\phi (v_1),... \phi (v_n)}{f(v_1 ,..., v_n} \end{eqnarray*}$
wobei B = { $\begin{eqnarray*} v_1 ,..., v_n \end{eqnarray*}$ } irgendeine Basis von V ist.

Satz(ohne Beweis):
$\begin{eqnarray*} D(\phi)= \sum_{\pi \in \sigma_n }^{}~ sign(\pi) \lambda_{1\pi_1} ... \lambda_{n\pi_n} \end{eqnarray*}$

Damit kann man prima Sachen über Determinanten beweisen.
Das einfachste Bsp dafür ist $\begin{eqnarray*} D(id_v) = 1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} D(id_v) = \frac{f(v_1 ,...,v_n)}{f(v_1 ,...,v_n)} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D(\phi ° \xi) = D(\phi)D(\xi) \end{eqnarray*}$ geht "fast analog", bin aber zu faul zum TeXeN...

° soll verknüpft heißen ,das Kringelsymbol in LaTeX kenn ich net

20.03.2006, 02:21

Ben Sisko

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Hallo Daktari,

den Bruch hast du also nur für die Normierung, alles klar.

Was ich hier geschrieben habe

Zitat:

Original von Ben Sisko
alternierend (=0, wenn zwei gleiche Zeilen)

ist etwas ungenau, die Klammer ist ja nicht die Definition, sondern schon eine Folgerung. Hier hast du also schon einen Tipp, wie man diese Eigenschaft der Det. zeigt.

Schreib dir die Definition von "alternierend" angewandt auf deine Determinantendefinition mal hin. Hast du jetzt eine Idee?

20.03.2006, 12:46

Daktari

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Hallo Daktari,

den Bruch hast du also nur für die Normierung, alles klar.

Was ich hier geschrieben habe

Zitat:

Original von Ben Sisko
alternierend (=0, wenn zwei gleiche Zeilen)

Alternierend:
$\begin{eqnarray*} f : V^{xk}->K \end{eqnarray*}$ sei k-fache Multilinearform. Dann heißt f alternierend, falls $\begin{eqnarray*} f(v_1 ,v_2 ,..., v_n) = 0 \end{eqnarray*}$ für jedes linear unabhängige k-Tupel $\begin{eqnarray*} (v_1 ,...,v_n) \end{eqnarray*}$ von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \in V \ (i=1,...,n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D(\phi) = \frac{f(\phi (v_1),... \phi (v_n)}{f(v_1 ,..., v_n)} \end{eqnarray*}$

wenn aber $\begin{eqnarray*} f(v_1 ,...,v_n) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann teilet man doch durch 0. Aber teilen durch 0 ist nicht definiert Hilfe

Ich versteh das echt nicht traurig

20.03.2006, 22:03

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Daktari
Alternierend:
$\begin{eqnarray*} f : V^{xk}->K \end{eqnarray*}$ sei k-fache Multilinearform. Dann heißt f alternierend, falls $\begin{eqnarray*} f(v_1 ,v_2 ,..., v_n) = 0 \end{eqnarray*}$ für jedes linear unabhängige k-Tupel $\begin{eqnarray*} (v_1 ,...,v_n) \end{eqnarray*}$ von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \in V \ (i=1,...,n) \end{eqnarray*}$

Soo habt ihr "alternierend" definiert? geschockt

Schau nochmal nach!

30.03.2006, 01:12

Daktari

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ups verschrieben...

Alternierend:
$\begin{eqnarray*} f : V^{xk}->K \end{eqnarray*}$ sei k-fache Multilinearform. Dann heißt f alternierend, falls $\begin{eqnarray*} f(v_1 ,v_2 ,..., v_n) = 0 \end{eqnarray*}$ für jedes linear abhängige k-Tupel $\begin{eqnarray*} (v_1 ,...,v_k) \end{eqnarray*}$ von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \in V \ (i=1,...,n) \end{eqnarray*}$

Determnanten
Die Determinante $\begin{eqnarray*} D(\phi) \end{eqnarray*}$ des Endomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi:V->V \end{eqnarray*}$ wird folgendermaßen definiert: Man wähle eine von der Nullform verschiedene n-fache alternierende Multilinearform $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Eine solche existiert wegen Satz ...
Dann setzt man
$\begin{eqnarray*} D(\phi) = \frac{f(\phi (v_1),... \phi (v_n)}{f(v_1 ,..., v_n)} \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} B= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ } irgendeine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist

Anmerkung: So stehts bei mir im Skript!!! Lehrer

Wenn ihr anderer Auffassung seit, dann "verbessert" mein Skript bitte Big Laugh

Folgende Fragen
1.)wenn aber $\begin{eqnarray*} f(v_1 ,...,v_n) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann teilet man doch durch 0. Aber teilen durch 0 ist nicht definiert Hilfe

2.)Wie zegt man damit dass die Determinante 0 ist, wenn eine Matrix 2 gleiche Zeilen hat.

Ich versteh von dem Thema 0, deshalb braucht manmich auch erst gar net zu fragen was hier was bedeutet.
_________________________________
Ohne Multilinearform ist's einfacher...
Seien Zeile X und Y gleich, dann zieht man X von Y ab (verändert die Determinante nicht) und entwickelt nach der Nullzeile, die gerade eben entstanden ist... fertig
_________________________________
Aber es soll angeblich auch per Multilinearform gehen. Aber ich versteh da wirklich nix.
Ich versteh das echt nicht traurig

30.03.2006, 02:42

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Daktari
Alternierend:
$\begin{eqnarray*} f : V^{xk}->K \end{eqnarray*}$ sei k-fache Multilinearform. Dann heißt f alternierend, falls $\begin{eqnarray*} f(v_1 ,v_2 ,..., v_n) = 0 \end{eqnarray*}$ für jedes linear abhängige k-Tupel $\begin{eqnarray*} (v_1 ,...,v_k) \end{eqnarray*}$ von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \in V \ (i=1,...,n) \end{eqnarray*}$

So macht's schon eher Sinn (auch wenn du mit n und k etwas durcheinander kommst).

Nun mach dir klar, was es heisst, wenn $\begin{eqnarray*} (v_1,\hdots,v_n) \end{eqnarray*}$ linear abhängig ist. Bzw. mach dir klar, dass du in einem ganz speziellen Fall von linearer Abhängigkeit bist, wenn du zwei gleiche Zeilen hast.

Edit: Mit $\begin{eqnarray*} (v_1,\hdots,v_n) \end{eqnarray*}$ meine ich die Notation in der Definition von alternierend. In der Determinanten-Definition musst du den Zähler betrachten!

30.03.2006, 23:09

Daktari

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die i-te Zeile entspricht den i-ten Positionen der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_k \end{eqnarray*}$

aber ich steh hier voll auf dem Schlauch. Von dem Thema versteh ich, ehrlich gesagt, nix, nada, niente traurig

Aber ich versteh z.B. gar net die Definiton von der Determinante wenn da ws alterniert. Wenn $\begin{eqnarray*} f(v_1,...,v_k)=0 \end{eqnarray*}$ , dann teile ich doch in $\begin{eqnarray*} D(\phi) \end{eqnarray*}$ durch 0, was aber defnitov ncht geht Hilfe

31.03.2006, 11:09

Ben Sisko

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Dein fehler liegt hier:

Zitat:

Original von Daktari
die i-te Zeile entspricht den i-ten Positionen der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_k \end{eqnarray*}$

Die Matrix (der Endomorphismus) ist ja gegeben durch $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (v_1,\hdots,v_n) \end{eqnarray*}$ ist ja eine Basis von V, daher bewirkt das teilen durch $\begin{eqnarray*} f(v_1,\hdots,v_n) \end{eqnarray*}$ nur eine Normierung. Es sorgt also dfür, dass die Identität bzw. die Einheitsmatrix Determinante 1 hat. Ihr habt siher gezeigt, dass die Determinante eindeutig ist, wenn man diese Normiertheit fordert.

Überlege dir auch, warum man nie (!) durch Null teilt, warum also $\begin{eqnarray*} f(v_1,\hdots,v_n) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß vom Ben

31.03.2006, 12:45

Daktari

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Überlege dir auch, warum man nie (!) durch Null teilt, warum also $\begin{eqnarray*} f(v_1,\hdots,v_n) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Gruß vom Ben

Aber so stehts doch in der Def. von alternierend, dass $\begin{eqnarray*} f(v_1,\hdots,v_n) =0 \end{eqnarray*}$

31.03.2006, 15:26

Ben Sisko

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Das meinte ich damit:

Zitat:

Edit: Mit (v_1,\hdots,v_n) meine ich die Notation in der Definition von alternierend. In der Determinanten-Definition musst du den Zähler betrachten!

In der Definition von "alternierend" sind die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ beliebige Vektoren.
In der Definition der Determinante ist $\begin{eqnarray*} (v_1,\hdots,v_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis. Überlege dir warum dann $\begin{eqnarray*} f(v_1,\hdots,v_n) \neq 0 \end{eqnarray*}$ !

Und beachte, dass du für deine eigentliche Fragestellung den Zähler betrachten musst (weil Endo/Matrix $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist).

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