Inkreis-Umkreis-Binom mit bruch..

21.03.2006, 11:05

MML

Inkreis-Umkreis-Binom mit bruch..

HEY hallo !!
Alle wege führen zu...

Ich hab da folgende "schwierigkeit"bei einfachen(?) sache.
ein dreieck A: (-20/-9) B (30/-9) C (12/15)
gezeigt werden soll,dass ein INkreis den Umkreis des anderen Dreiecks berührt..soweit so gut:
I (10/1) U (8,5/3)

Inkreisgleichung: (vereinfacht): x²- 20x+100+ y² -2y+1=100
Umkreisgleichung: (vereinfacht):x²-17x+ 72,5+y²- 6y+9 =156,25

die beiden subtrahiert ergibt die schnittgerade: 3x-4y= 76..
umgeformtX=76+4y/3
Und jetzt hab ich das problem (des bruches...)undzwar beim einsetzen (in inkreisgleichung)
(76+4y/3 - 10)²+ (y-1)²=100
(46+4y/3)² + (y+1)²= 100 --da hab ich versucht bruch zu vereinfachen-ist das richtig?...und jetzt alles Mal 3? (um bruch wegkriegen verwirrt

...aber dann hätte ich ja 3(y+1)²:/

21.03.2006, 11:52

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Zitat:

Original von MML
gezeigt werden soll,dass ein INkreis den Umkreis des anderen Dreiecks berührt

Wenn das alles ist - warum so umständlich? Lass doch einfach beide Kreise in Normaldarstellung $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ . Also:

Inkreis: $\begin{eqnarray*} (x-10)^2+(y-1)^2 = 10^2 \end{eqnarray*}$
Umkreis: $\begin{eqnarray*} (x-8.5)^2+(y-3)^2 = 12.5^2 \end{eqnarray*}$

(Sollte wohl 72.25 statt 72.5 heißen, oder?)

Dann hast du sofort den Abstand beider Mittelpunkte: $\begin{eqnarray*} \overline{M_1M_2} = \sqrt{(10-8.5)^2+(1-3)^2} = 2.5 \end{eqnarray*}$

Und da auch $\begin{eqnarray*} |r_1-r_2|=|10-12.5|=2.5 \end{eqnarray*}$ gilt, berühren sich die Kreise, und zwar der kleinere den größeren "von innen".

22.03.2006, 01:57

MML

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Hi

Ist ja noch praktischer dein weg...Hm.(einfach nur M1 betrag M2)?
Nur bräuchte auch den Berührspunkt..die koordinate davon. Also muss ich diesen (meinen) weg wählen?!

Ausserdem würde s mich auch interessieren ob mein ansatzweg mit dem bruch richtig war und wie ich weiter komme damit...

Mfg

22.03.2006, 06:24

Leopold

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Deine Original-Geradengleichung stimmt, die umgeformte nicht mehr: Klammersetzung!
Du kannst den Berührpunkt natürlich durch Schneiden von Gerade und Kreis bestimmen. Einfacher geht es aber mit der Vektorrechnung, falls dir das vertraut ist. Wir haben mit $\begin{eqnarray*} M(8{,}5|3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N(10|1) \end{eqnarray*}$ als den Mittelpunkten und $\begin{eqnarray*} r=12{,}5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s=10 \end{eqnarray*}$ als den Radien der Kreise für den gesuchten Berührpunkt $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OT} = \overrightarrow{OM} + \frac{r}{r-s} \, \overrightarrow{MN} = \frac{1}{r-s} \left( r \, \overrightarrow{ON} - s \, \overrightarrow{OM} \right) \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} M,N,T \end{eqnarray*}$ liegen auf einer Geraden, und die Streckenverhältnisse sind bekannt (siehe Arthurs Beitrag). Mach dir eine Skizze.

24.03.2006, 18:49

MML

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Hey hO

vielen dank erstmals...!
werd das mal kopfmäßig durchgehen,bei fragen wende ich mich gleich wieder...:-)..was wahrscheinlich eh sein wird*schäm*

PS: Arthus praktischen weg kann ich nicht verwenden,wenn Berührungspunkt auch gesucht ist,oder?!

Mfg

MML

24.03.2006, 19:01

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Der bestätigt leider erstmal nur, dass das mit der Berührung auch stimmt. Weiter geht's dann, wie Leopold schon beschrieben hat: Mit der Verbindungsgerade der Mittelpunkte, auf der muss der Berührpunkt nämlich liegen.

24.03.2006, 19:37

MML

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ah!ok..

nur bevor ich weiterdenken versuch
1. was sind "verbindungsgerade" ?der Mittelpunkte..*blödfrag*-kann sein,dass ich gerade auf schlauch stehe-

2 mal nachfrag: was stimmt eigentlich bei meiner schnittgeraden umformulierung nicht?...
hatte versucht nur den bruch wegzukriegen..

Mfg

25.03.2006, 01:11

phi

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1. Verbindungsgrade der Mittelpunkte, ist die Gerade mit einem der Mittelpunkt als Stützvektor, und die Differenz der beiden als Richtungsvektor, falls dir das was sagt. Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} g_{m,n}:x=\begin{pmatrix} 8.5 \\ 3 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 10-8.5 \\ 1-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Durch 3 teilt man wegen 3x... doch erst ganz zum Schluss der Umformung. Oder du hast Punkt-vor-Strich-Rechnung nicht richtig beachtet:

$\begin{eqnarray*} x=76+ \frac{4y}{3} \end{eqnarray*}$ ist falsch.

mfg, phi

27.03.2006, 01:52

MML

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Hi hallo..
danke erstmals und nochmals für die antworten!

diese art der verbinundsgerade sagt mir glaub ich nicht viel,befürchte ich...werds mir natürlich durch den kopf gehen lassen..notfall muss ich bei schnittgeradung und kreisschneidung bleiben

..und wie es aussieht meine umformung der schnittgeraden nicht richtig?!ich bekomm aber für x=---nichts anders raus..?!
was ich wohl falsch gemacht habe..

Mfg

27.03.2006, 07:12

Leopold

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Langsam habe ich den Verdacht, daß du überhaupt noch keine Zeichnung gemacht hast ...

04.04.2006, 02:10

MML

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Hallo Leopold!
ich habe eine skizze gemacht..aber die von dir find ich viel besser und übersichtler..danke..

Nur mein Problem war beim Rechnen..(schnittgerade).Hatte ich erwähnt wo ich hing.irgendwas stimmt net daran...
ist echt tückische rechnung...und anscheinend stimmt meine umformung der schnittgeraden auch nicht?

LG

04.04.2006, 07:29

Leopold

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Erste Lösung

Wie bereits gezeigt, gilt $\begin{eqnarray*} \overline{MN} = 2{,}5 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} r = 12{,}5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s = 10 \end{eqnarray*}$ (Bezeichnungen siehe Skizze bzw. meine vorigen Beiträge).

Wegen $\begin{eqnarray*} \overline{MN} = r - s \end{eqnarray*}$ heißt das, daß der kleinere Kreis den größeren von innen berührt. $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ teilt die Strecke $\begin{eqnarray*} MT \end{eqnarray*}$ daher im Verhältnis $\begin{eqnarray*} 2{,}5 : 10 = 1 : 4 \end{eqnarray*}$ . Es gilt somit:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OT} = \overrightarrow{OM} + 5 \cdot \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{OM} + 5 \cdot \left( \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} \right) = 5 \cdot \overrightarrow{ON} - 4 \cdot \overrightarrow{OM} \end{eqnarray*}$

Die Werte für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{ON} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM} \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OT} = 5 \,\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} - 4 \, \begin{pmatrix} 8{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Berührpunkt hat daher die Koordinaten $\begin{eqnarray*} T(16|-7) \end{eqnarray*}$ .

Zweite Lösung

Durch Subtraktion der Kreisgleichungen

$\begin{eqnarray*} (x - 10)^2 + (y - 1)^2 = 10^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x - 8{,}5)^2 + (y - 3)^2 = 12{,5}^2 \end{eqnarray*}$

erhält man die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ durch die gemeinsamen Punkte beider Kreise (sofern existent).

$\begin{eqnarray*} g: \ \ 3x - 4y = 76 \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufgelöst ist das $\begin{eqnarray*} y = \frac{3}{4} x - 19 \end{eqnarray*}$ . Das wird in eine der Kreisgleichungen eingesetzt, z.B. die erste:

$\begin{eqnarray*} (x - 10)^2 + \left(\frac{3}{4} x - 19 - 1 \right)^2 = 10^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{16} x^2 - 50x + 400 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{5}{4} x - 20 \right)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 16 \end{eqnarray*}$

Da hier nur eine Lösung existiert, schließt man, daß die Kreise sich berühren und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Tangente ist. $\begin{eqnarray*} x=16 \end{eqnarray*}$ in die Geradengleichung eingesetzt liefert $\begin{eqnarray*} y = -7 \end{eqnarray*}$ und damit den Berührpunkt

$\begin{eqnarray*} T(16|-7) \end{eqnarray*}$

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