Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge

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AmelieS. Auf diesen Beitrag antworten »
Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge
Hallo,
ich habe schon ganz viel im Internet geschaut, aber nichts, das ich verstehe, gefunden, wie man beweist, dassdie Anzahl der Möglichkeiten von k Kugeln aus einer Urne mit n kugeln mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge diesen Binomialkoeffizienten (n+k-1 über k) ergibt.

Ich weiß, dass es beim Ziehen mit Zurücklegen n^k Möglichkeiten gibt, wie krieg ich jetzt aber die raus, die doppelt sind???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das war zweimal mindestens da in letzter Zeit

z.B. nur etwas weiter unten: Erklärung der Formel von Kombination mit Wiederholung
manchmal hilft suchen und Augen aufmachen.
AmelieS. Auf diesen Beitrag antworten »

naja, dieses pdf ist wirklich anschaulich, aber kann man das nicht auch beweisen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, siehe dem anderen Link. Dort ist es ein Beweis.

Gruß MSS
AmelieS. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Anzahl der "Auswahlen von k aus n Elementen mit Zurücklegen" entspricht der Anzahl der k-Tupel von ganzen Zahlen mit .

Nun kann man jedem solchen k-Tupel eineindeutig ein anderes k-Tupel



zuordnen, für welches dann gilt


Was bedeutet das??? und wie kommt man aufeinmal auf a und b und n+k-1?

edit: In Latex sollten nur die Codes und nicht der ganze Text. Zitat eingefügt und Latex-Codes verbessert. (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau verstehst du denn daran nicht? Bitte etwas konkreter fragen, sonst wird es schwer, dir das zu erklären.

Gruß MSS
 
 
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AmelieS.
Was bedeutet das??? und wie kommt man aufeinmal auf a und b und n+k-1?


Die Kugeln, die gezogen werden, werden hier mit natürlichen Zahlen identifiziert. Uns interessiert ja nur die Anzahl der Möglichkeiten und da ist es egal, ob man jetzt Kugeln oder Zahlen "zieht".
Die n Kugeln in der Urne werden also durchnummeriert von 1 bis n. Nun ziehen wir davon k Stück und ordnen die erhaltenen Zahlen der Grösse nach. Da wir ja mit Zurücklegen gezogen haben, können auch Zahlen gleich sein. Diese k gezogenen Zahlen haben wir also nun vor uns liegen und geben ihnen einen neuen Namen, nämlich usw.
Da wir sie ja schön geordnet haben und uns überlegt haben, dass Gleichheit möglich ist, gilt . Nun wollen wir das Ganze auf das Ziehen ohne Zurücklegen zurückführen, da wir dafür ja schon so schöne Formeln haben. Also müssen die "kleinerodergleich-Zeichen" durch kleiner-Zeichen ersetzt werden. Das schaffen wir, indem wir jeder Zahl eine neue Zahl zuordnen durch die Vorschrift
(an dieser Stelle muss man noch Denkarbeit leisten und sich überlegen, warum jetzt gilt). Da wir die Zahlen aber jetzt grösser gemacht haben, kann die obere Grenze n ja nicht so einfach beibehalten werden. Aber wir haben zu jeder Zahl nur (Index-1) addiert, daher weiss man, wenn , dann ist , also .

Auf diese b's kann man nun den Fall "mit Zurücklegen" anwenden und erhält für die Anzahl .

Gruß vom Ben
AmelieS. Auf diesen Beitrag antworten »
...
klitzelitzekleiner Fehler am Schluss...

...auf diese b's kann man nun "OHNE Zurücklegen" anwenden...

gruss
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