Grenzwert = Indikatorfunktion von Q

20.06.2008, 12:42

bishop

Grenzwert = Indikatorfunktion von Q

Hallo alle zusammen,

Habe folgende Aufgabe:

Man Zeige: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty}\lim_{m \to\infty}(cos²(n!\pi x))^m=1_{\mathbb{Q}}(x) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} 1_{\mathbb{Q}}(x)=\begin{cases}1~~\text{wenn}x\in \mathbb{Q}\\0~~\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich habe keine Vorstellung davon wie ich diesem Limes beikommen soll, jede Hilfe ist willkommen.

gruß

/€dit, natürlich muss der innere Grenzwert mit m gehen, danke AD

20.06.2008, 13:37

Tomtomtomtom

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Also der Teil mit x aus Q ist noch relativ einfach. Beachte dazu, daß ab irgendeinem n das Produkt nx eine natürliche Zahl wird.

Du müßtest mal noch editieren, unter welchem Limes das n bzw. m steht. Da oben ist noch ein Schreibfehler drin.

20.06.2008, 14:05

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Es ist stark zu vermuten, dass es

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty}\lim_{m \to\infty}(\cos^2(n!\pi x))^m \end{eqnarray*}$

lauten muss, denn bei anderer Grenzwertreihenfolge existiert der innere Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty}(\cos^2(n!\pi x))^m = (\lim_{n \to\infty}\cos^2(n!\pi x))^m \end{eqnarray*}$

für irrationale $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und festes $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ i.a. nicht.

20.06.2008, 14:20

bishop

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so, den Schreibfehler habe ich ausgemerzt.

Also gut, der Cosinus wird ja Null für natürliche ungerade k mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{k\pi}{2} \end{eqnarray*}$
Analog ist der Cosinus für ganzzahlige Vielfache von Pi eins.
Die Überlegung ist also, dass für rationale x das Innere vom Sinus gerade ein ganzzahliges Vielfaches von pi ist, und für sonstige die obige Bedingung erfüllt.
Das ist zwar wenig nützlich, aber immerhin verstehe ich die Überlegung

Es ist aber wohl wie üblich ein rechentrick den man hier anwenden soll.. Und wie immer komme ich nicht drauf :/

20.06.2008, 14:33

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Welcher Teil ist dir unklar: Der für rationale oder der für irrationale $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

20.06.2008, 14:44

Tomtomtomtom

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Zitat:

Original von bishop

Analog ist der Cosinus für ganzzahlige Vielfache von Pi eins.

20.06.2008, 14:59

bishop

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mich stört vor Allem der durchzuführende Grenzwert. Ich muss ja diese Gleichung zeigen, also muss ich damit rumrechnen und umformen.

Bräuchte also einen Ansatz wie ich losrechnen soll, damit ich schliesslich zu dieser Gleichung komme.

20.06.2008, 15:29

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Da du meine Nachfrage geflissentlich ignoriert hast, und Tomtomtomtom gerade etwas zu rationalen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gesagt hat, jetzt noch etwas zu irrationalen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :

Für die sind auch alle Werte $\begin{eqnarray*} n!x \end{eqnarray*}$ irrational, und damit ist $\begin{eqnarray*} n!\pi x \end{eqnarray*}$ auch niemals ein ganzzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Somit gilt $\begin{eqnarray*} |\cos(n!\pi x)|\neq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und demnach auch $\begin{eqnarray*} 0\leq \cos^2(n!\pi x) < 1 \end{eqnarray*}$ . Was passiert denn jetzt, wenn man diesen Ausdruck zur $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -ten Potenz erhebt und $\begin{eqnarray*} m\to \infty \end{eqnarray*}$ betrachtet?

20.06.2008, 16:43

bishop

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ach soo, wow, das Quadrieren macht den Ausdruck positiv, und die Potenz mit m gegen Unendlich macht daraus die Null, das verstehe ich dann schon, danke.
Ich habe dich nicht ignoriert, sondern nicht ganz verstanden wo du hinwolltest, jetzt ist es mir klar smile

Dann was zu Rationalen x:

wir schreiben x als gekürzten Bruch p/q, und erhalten den Ausdruck $\begin{eqnarray*} sin²(\frac{n!\pi p}{q})^m \end{eqnarray*}$ Für ein riesiges riesenhaftes n wird der Bruch gegen $\begin{eqnarray*} n!\pi*p \end{eqnarray*}$ gehen, was auf jeden Fall ein ganzzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist und somit 1 ergibt. Die Potenz mit m rüttelt da auch nichts daran.

Wie drücke ich das mathematisch sauber aus, dass der Nenner für große Zähler zu vernachlässigen ist?

Habe es aber insgesamt verstanden, danke schön nochmal Augenzwinkern

20.06.2008, 17:26

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von bishop
Wie drücke ich das mathematisch sauber aus, dass der Nenner für große Zähler zu vernachlässigen ist?

Z.B. so: Für $\begin{eqnarray*} n\geq q \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n!p \end{eqnarray*}$ ganzzahlig.

20.06.2008, 17:27

Tomtomtomtom

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Ich fürchte, du hast es nicht verstanden verwirrt

Der Bruch wird nicht "gegen irgendwas gehen", schon gar nciht gegen den von dir angegebenen Ausdruck. Vielmehr gilt im rationalen Fall: Wenn das n groß genug ist, dann ist in n! ein Faktor drinnen, den du gegen das q aus der Darstellung x=p/q kürzen kannst. DAS ist der entscheidende Punkt. Weiterhin ist es gar nicht nötig, das ganze erst in Sinus umzuschreiben.

20.06.2008, 17:43

bishop

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ahaaaa, jetzt aber, kla -.-

der sinus ist mal wieder ein leichtsinnsfehler, ich bin heute etwas durch den Wind
Anyways, jetzt habe ich das Ganze wirklich verstanden, danke für die Hilfe

gruß

20.06.2008, 18:23

Tomtomtomtom

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Ich find, das ist eine schöne Aufgabe, die werd ich mir merken. Die Funktion ist für jedes m,n stetig, sogar unendlich oft stetig differenzierbar, aber die Grenzfunktion ist in jedem Punkt unstetig. Tolles Beispiel.

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