Primitive Einheitswurzel

Neue Frage »

20.06.2008, 15:22	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
Primitive Einheitswurzel Sei $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ eine primitive $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Einheitswurzel. Zeige, dass $\begin{eqnarray} - \xi = (-1) \xi \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ -primitive Einheitswurzel ist. Ich hab folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} (-\xi)^{2n} = (-1)^{2n} (\xi)^{2n} = ((\xi)^{n})^2 = 1 \end{eqnarray}$ (nach Vor.) Nun muss ich ja noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} (- \xi)^{k} \neq 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k = 0,...,2n-1 \end{eqnarray}$ . Es gilt ja, dass $\begin{eqnarray} \xi^k \neq 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k = 0,...,n-1 \end{eqnarray}$ . Das heißt doch wegen $\begin{eqnarray} (-\xi)^{2n} = (-1)^{2n} (\xi)^{2n} \end{eqnarray}$ , dass ich nur den Fall $\begin{eqnarray} k = n \end{eqnarray}$ überprüfen muss: Also $\begin{eqnarray} (-\xi)^{n} = -1 \end{eqnarray}$ . Ist dies dann schon fertig?
20.06.2008, 16:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt aber nur für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , das hast du wohl vergessen mit anzugeben...
20.06.2008, 16:38	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hab ich vergessen, sorry. Stimmt denn mein Beweis? Noch ne weitere Frage: Falls $\begin{eqnarray} \Phi_n \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Kreisteilungspolynom (das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \xi_n \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ), dann gilt für $\begin{eqnarray} n > 1 \end{eqnarray}$ (ungerade): $\begin{eqnarray} \Phi_{2n}(t) = \Phi_{n}(-t) \end{eqnarray}$ (dies soll man mit der obrigen Aussage begründen bzw. beweisen können. Aber wie?)
20.06.2008, 19:31	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder folgt dass irgendwie schon daraus?
20.06.2008, 19:44	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Tipp: Für ungerades $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \varphi(2n)=\varphi(n) \end{eqnarray}$ .
20.06.2008, 19:47	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll $\begin{eqnarray} \varphi = \Phi \end{eqnarray}$ sein? Und warum ist dann $\begin{eqnarray} \varphi(2n) = \phi(n) \end{eqnarray}$ ?
Anzeige

20.06.2008, 19:51	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich meinte damit die eulersche $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ -Funktion; sie gibt die Ordnung von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/n\mathbb Z)^ \end{eqnarray*}$ (multiplikative Einheitengruppe) an.
20.06.2008, 19:54	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, wir hatten dafür ne andere Variable. Folgt denn aus dem da oben, dass $\begin{eqnarray} \varphi(2n) = \varphi(n) \end{eqnarray}$ .
20.06.2008, 19:58	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das folgt aus $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(2,n)=1 \end{eqnarray}$ . Du solltest mal darüber nachdenken, was die eulersche phi-Funktion mit primitiven Einheitswurzeln zu tun hat.
20.06.2008, 20:44	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Die Gleichheit hab ich hinbekommen. Die $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ -Funktion gibt ja die Anzahl der primitiven Einheitswurzeln an. Und ich weiß dass diese dann für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ gleich sind. Dass heißt doch, dass die Grade der beiden Kreisteilungspolynome gleich sind. Und wie komm ich nun auf die Behauptung?
20.06.2008, 22:00	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Definition gilt doch $\begin{eqnarray} \Phi_n(t)=\sum_{i=1}^{\varphi(n)}(t-\zeta_i) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \zeta_1,\dots,\zeta_{\varphi(n)} \end{eqnarray}$ die primitiven n-ten Einheitswurzeln sind. Nun schreib dir die Behauptung einfach mal ausführlich hin und verwende das bereits Gezeigte.

Neue Frage »

Antworten »

Primitive Einheitswurzel

Verwandte Themen