Balkenwaage (varierte Aufgabenstellung)

20.06.2008, 19:05	theater_antik	Auf diesen Beitrag antworten »
Balkenwaage (varierte Aufgabenstellung) Hallo zusammen, ich grübele seit einigen Tagen über folgende Problemstellung zu einer Balkenwaage... Problembeschreibung: Ein Klotz mit einem ganzzahligen Gesamtgewicht von m (Newton) zerfällt in genau n ganzzahlige Teilgewichte. Gibt es eine Zerlegung, so dass mit den entstehenden Teilgewichten alle ganzzahligen Gewichte von 0 bis m auf einer Balkenwaage durch Differenzwägung wiegbar sind? Beispiel: Der Klotz hat ein Gewicht von 10 N und zerfällt in 3 Teilgewichte mit 1, 2 und 7 N. Mit diesen Teilgewichten können alle Gewichte von 0 bis 10 N gewogen werden, also auch das Gewicht 5 N, denn 7-2 = 5. Legt man das zu wiegende Gewicht von 5 N auf die rechte Waagschale und anschließend das Teilgewicht 2 N auf die rechte und das Teilgewicht 7 N auf die linke Waagschale, so geht die Balkenwaage ins Gleichgewicht über. Die Anzahl von m und n ist also variabel... Man soll prüfen, ob(!) eine Zerlegung möglich ist....
21.06.2008, 22:25	habac	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Aufgabenstellung nicht ganz, aber viellleicht hilft das: Mit n Gewichten $\begin{eqnarray} 1, 3, 9, ..., 3^{n-1} \end{eqnarray}$ kann man jedes ganzzahlige Gewicht von 1 bis $\begin{eqnarray} \frac{3^n-1}{2} \end{eqnarray}$ auf einer Balkenwaage darstellen.
23.06.2008, 02:40	bishop	Auf diesen Beitrag antworten »
hmh sehe ich das richtig, dass du zu einem beliebigen ganzzahligen Gewicht m mindestens eine ganzzahlige aufteilung suchst, so dass man jedes ganzzahlige Gewicht bis m wiegen kann? Würde dir dann auch ein einziges Gegenbeispiel reichen? Ich glaube nämlich, dass es nicht geht, und entsprechend ist die Suche nach einem Gegenbeispiel einfacher..
23.06.2008, 06:54	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke die Antwort ist vor allem von "n" abhängig. Ohne sinnvolle Einschränkungen an dessen Größe ist die Suche nach einer Antwort ziemlich schwierig.
23.06.2008, 09:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage: Was heißt "wiegbar"? Muss die Waage dazu echt im Gleichstand stehen, oder genügen bei unbekannten Gewicht $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die Feststellungen $\begin{eqnarray} x > m-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x < m+1 \end{eqnarray}$ , um die Aussage $\begin{eqnarray} x=m \end{eqnarray}$ zu treffen, da ja $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als ganzzahlig vorausgesetzt wird? Beispiel: m=6 und n=2 Die Aufteilung 6=2+4 erfüllt im obig erweiterten Sinne die Wiegbarkeit aller Gewichte von 0 bis 6 x=0: x=0 x=1: x>0 und x<2 ergibt x=1. x=2: x=2 x=3: x>2 und x<4 ergibt x=3. x=4: x=4 x=5: x>4 und x<2+4 ergibt x=5. x=6: x=2+4 Bei den Fällen 1,3,5 ergibt sich natürlich keine Wiegbarkeit im klassischen Sinne des Gleichstands der Waage. --------------------------------------------- Muss dagegen unbedingt Gleichstand der Waage herrschen, dann kann man folgendes feststellen: Gleichgültig, wie auch immer die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Teilgewichte aussehen, kann man mit denen unter Einsatz der Waage maximal $\begin{eqnarray} \frac{3^n-1}{2} \end{eqnarray}$ verschiedene positive Gewichte bestimmen. D.h., für $\begin{eqnarray} m > \frac{3^n-1}{2} \end{eqnarray}$ lautet die Antwort schon mal Nein.
23.06.2008, 15:40	Slush	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gewicht mit 10N muß in 3 Teile zerfallen, und zwar in 1N , 3N und 6N. mit 1N auf einer Waagschale kann ich 1N wiegen, mit 1N links und 3N rechts kann ich 2N wiegen, mit 3N kann ich 3N wiegen, mit 3N und 1N auf eine Schale kann ich 4N wiegen, mit 6N links und 1N rechts kann ich 5N wiegen, mit 6N kann ich 6N wiegen, mit 6N und 1N kann ich 7N wiegen, mit 6N und 3N links und 1N rechts kann ich 8N wiegen, mit 6N und 3N kann ich 9N wiegen, und mit allen dreien kann ich 10N wiegen ! Gruß, Slush
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