Kosinussatz der Trigonometrie...

22.03.2006, 18:37

Roque

Kosinussatz der Trigonometrie...

Servus... Ich muss / will den Kosinussatz der Trigonometrie herleiten... Das bedeutet mit Hilfe von Vektoren...

Allgemein lautet er - |c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|*cos(gamma)

Es wurde auch schon eine Herleitung angestellt:

Geschrieben von Polarfuchs -
Über die Vektorrechnung:

Die Bezeichungen im Dreieck seien wie gewohnt (c als Grundseite).

Es sei

a=b+c oder c=a-b.

Wir bilden das Skalarprodukt von c mit sich selbst:

=c*c=(a-b)(a-b)

|c|^2=a*a-a*b-b*a+b*b

|c|^2=|a|^2+|b|^2-2a*b

|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|*cos(gamma)
--------

ABER: 1. Frage: Was veranlasst mich am Anfang das Skalarprodukt von c zu nehmen? wie komme ich darauf?
2. Frage: Wie komme ich von |c|^2=|a|^2+|b|^2-2a*b auf |c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|*cos(gamma)??

Mit freundlichen Gruß - Roque...

22.03.2006, 19:40

riwe

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
a, b und c sind zyklisch vertauschbar.
da a und b (von C aus) als linear unabhängig gewählt wurden, landest du mit c = a - b bei c und damit bei c*c.
zu 2: das folgt aus der / ist die definition des skalarproduktes!
werner

22.03.2006, 21:03

Ace Piet

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
gelöscht... (s.u.)

22.03.2006, 21:14

riwe

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...

Zitat:

Original von Ace Piet
Nehme in der "Gamma"-Formel (zum besseren merken) zur Kenntnis:
$\begin{eqnarray*} <a,b> = \mid a \mid \cdot \mid b \mid \cdot \cos \angle (a,b) \end{eqnarray*}$ ; sprich: "eingeschl. Winkel zw. a und b"

---snip

Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R^n \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ (oE.) gegeben, dann existiert $\begin{eqnarray*} n \bot a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot a + n = b \end{eqnarray*}$ (rechtwink. Dreieck). - Mult. man skalar mit a, so ergibt sich $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac {<a,b>}{\mid a \mid^2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mid \lambda \cdot a \mid = \frac {<a,b>}{\mid a \mid} \end{eqnarray*}$ . - In diesem rechtwinkligen Dreieck ist ferner $\begin{eqnarray*} \cos \angle (a,b) = \frac{\mid \lambda \cdot a \mid}{\mid b \mid} \end{eqnarray*}$ , was zum bekannten $\begin{eqnarray*} <a,b> = \mid a \mid \cdot \mid b \mid \cdot \cos \angle (a,b) \end{eqnarray*}$ führt. Damit kannst Du nun $\begin{eqnarray*} \mid c \mid^2 = <a-b,a-b> = \mid a \mid^2 \cdot \mid b \mid^2 - 2 \cdot <a,b> \end{eqnarray*}$ ergänzen...

Um sich hier nicht 3 Formeln merken zu müssen, sollte man stets ...

c = "von a,b eingeschlossene Seite"
$\begin{eqnarray*} \gamma = \angle (a,b) \end{eqnarray*}$ = "von a,b eingeschlossener Winkel" murmeln, wenn man schreibt...

$\begin{eqnarray*} \mid c \mid^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mid a \mid^2 + \mid b \mid^2 - 2 \cdot \mid a \mid \cdot \mid b \mid \cdot \cos( \gamma) \end{eqnarray*}$

Wink

OT: wie formulierst du, wenn du deine freundin frägst, ob sie mit dir ins kino gehen will?
und was versteht sie dann?
Teufel

werner

22.03.2006, 21:37

Ace Piet

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
> OT: wie formulierst du, ...
Die Gedankenstütze, sich (in einer Formel) statt Buchstaben eine anschauliche Brücke zu bauen, wurde nicht begriffen. *schade*

Aus gegebenem Anlass: Da saß Einstein und probierte...

$\begin{eqnarray*} E &=& m \cdot a^2 \end{eqnarray*}$ ... *Käse*
$\begin{eqnarray*} E &=& m \cdot b^2 \end{eqnarray*}$ ... *Käse*

$\begin{eqnarray*} E &=& m \cdot c^2 \end{eqnarray*}$ ... *HUrrA* ...

Ich habe meinen Beitrag daher "genullt".

Wink

_____________

P.S.: Wenn ich jemanden frage, erwarte ich keine Antwort von meinem Friseur... HTH

22.03.2006, 21:39

Roque

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
Jungs... Alles schön und gut, aber ich verstehe nach wie vor nichts anderes als BAHNHOF...

Ich habe am Anfang c=a-b --- aber warum und aus welchen Grund nehme ich an dieser Stelle das Quadrat? Gibt es hier an dieser Stelle einen besonderen Grund?

22.03.2006, 21:43

riwe

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
der witz mit E = mc^2 ist alt, den las ich schon ca. 1960 in scientific american.
warum bist so schnell so beleidigt!
das wollte ich doch wirklich nicht.
war halt nur neugierig!
werner

22.03.2006, 21:45

riwe

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...

Zitat:

Original von Roque
Jungs... Alles schön und gut, aber ich verstehe nach wie vor nichts anderes als BAHNHOF...

Ich habe am Anfang c=a-b --- aber warum und aus welchen Grund nehme ich an dieser Stelle das Quadrat? Gibt es hier an dieser Stelle einen besonderen Grund?

na damit du es eben beweisen kannst!
und im cosinussatz gehts halt um c^2 = ...
werner

23.03.2006, 12:49

Roque

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
Also ich steige langsam hinter...
Ich leite es jetzt schon her bis zum Punkt ... |c|^2=|a|^2+|b|^2-2a*b

ABER: Wie komme ich von -2a*b auf -2|a||b|*cos(gamma) ??

Sonst verstehe ich alles... Danke...

23.03.2006, 15:40

riwe

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
siehe weiter oben, das ist die definition des skalarproduktes
$\begin{eqnarray*} cos\gamma =\frac{\vec{a} \cdot\vec{b} }{\mid a\mid\mid b\mid} \end{eqnarray*}$
nach
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot\vec{b} \end{eqnarray*}$
umgestellt.
werner

23.03.2006, 15:56

Roque

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
ICH HABE DEN BOGEN JETZT BEKOMMEN... ABER FREUNDE DER SONNE... WIE BEKOMME ICH DEN WINKEL IN DIESE BEZIEHUNG?

Wenn ich letztendlich den Satz: Vektor a * Vektor b = Betrag von Vektor a * Betrag von Vektor b * Kosinus des eingeschlossenen Winkels herleiten muss?

23.03.2006, 16:13

riwe

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
wenn du davon ausgehst, dass du (die vektoren) a und b kennst, kennst du auch den winkel, den sie einschließen!

und ich vermute, du verwechselt da henne und ei: du sollst nicht das skalarprodukt mit hilfe des kosinussatzes herleiten, sondern den kosinussatz mit hilfe der vektorrechnung: also gegeben die beiden vektoren a und b, die vom punkt C (des dreiecks ABC) wegzeigen und die den winkel gamma einschließen (der sich aus dem skalarprodukt ergibt) usw.
werner

23.03.2006, 16:20

Roque

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
Richtig Werner und meine Aufgabe lautet: Leiten sie die Kosinusformel her...

Vektor a * Vektor b = Betrag von Vektor a * Betrag von Vektor b * Kosinus des eingeschlossenen Winkels

Das tue ich mithilfe von

(1) |c|^2=|a|^2+|b|^2-2a*b

(2) |c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|*cos(gamma)

Wenn ich sie zusammenfühe komme ich auf das Ende... ABER... Wie komme ich auf den (2) ?

23.03.2006, 16:32

Ace Piet

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
> ABER FREUNDE DER SONNE
Da bin ich wohl auch gemeint ;-)

In dem Zitat (oben) habe ich $\begin{eqnarray*} <a,b> = \mid a \mid \mid b \mid \cos \gamma \end{eqnarray*}$ hergeleitet...

23.03.2006, 16:38

Roque

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
Das war doch aber sehr undurchsichtig oder?

23.03.2006, 16:41

Roque

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
Außerdem steige ich da nicht durch... Das muss doch auch anders funktionieren oder`?

23.03.2006, 16:41

riwe

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
siehe weiter oben und noch weiter oben: das ist die definition des skalarproduktes
$\begin{eqnarray*} cos\gamma =\frac{\vec{a} \cdot\vec{b} }{\mid a\mid\mid b\mid} \end{eqnarray*}$
==>
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot\vec{b} =\mid a\mid\mid b\mid cos\gamma \end{eqnarray*}$
und halt einsetzen.
werner

23.03.2006, 16:44

Roque

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
Lieber guter Werner... Ich habe mir jetzt alles 3 mal durchgelesen...

Wie komme ich auf diese erkenntnis? Wie leite ich dir her?

EIst es so schwer oder mache ich es mir schwer?

23.03.2006, 20:59

riwe

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...

Zitat:

Original von Roque
Lieber guter Werner... Ich habe mir jetzt alles 3 mal durchgelesen...

Wie komme ich auf diese erkenntnis? Wie leite ich dir her?

EIst es so schwer oder mache ich es mir schwer?

das letzte ist es wohl!
ich bin ratlos
werner

23.03.2006, 23:48

Ace Piet

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RE: Kosinussatz der Trigonometrie...
@Roque

Schritt 1:
Du hast in einem Dreieck die Beziehung $\begin{eqnarray*} c=a-b \end{eqnarray*}$ (selber) festgestellt. - Nächster Schritt: Male dieses auf ein Blatt Papier! Es ist nur irgendein 3-Eck, wo vektoriell das $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \vec 0 \end{eqnarray*}$ beginnen (und irgendwo hinzeigen) und $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ am Ende von $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ beginnt und an der Spitze von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ endet.

[_] Gesagt, getan?

Schritt 2:
$\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ treffen sich also (spitzenmäßig) und Du ziehst von dort ein Lot (= senkrechter Strich) auf $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda \vec b \end{eqnarray*}$ . - Dieses Lot nennst Du $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ . Es habe seine Spitze da, wo $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ sie haben und seinen Fußpunkt irgendwo (deshalb dieses $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ) bei $\begin{eqnarray*} \lambda \vec b \end{eqnarray*}$ . - Mit dem bisher Gesagten äußerst Du ff. Aussagen...

(1) $\begin{eqnarray*} \lambda b + n = a \end{eqnarray*}$ ... (rechtw. Dreieck)
(2) $\begin{eqnarray*} n \bot b \end{eqnarray*}$ , sprich $\begin{eqnarray*} n * b = 0 \end{eqnarray*}$ ... (betrifft Lot)

(gemerkt(?): ich lasse jetzt die lästigen Pfeile über den Buchstaben weg und das Skalarprodukt ist *, so wie es Dir geläufig ist)

[_] Ich habe die Konstruktion nachvollzogen und begriffen?

Schritt 3:
Ich nutze die Linearität von * und mult. die Gleichung (1) mit b... damit rechts a * b entsteht und links sich ergibt:
a*b = $\begin{eqnarray*} \lambda b * b + n*b = \lambda \mid b \mid^2 +0 = \lambda \mid b \mid^2 \end{eqnarray*}$
(so rein vom rechnen)

[_] Sitzt dat dran(?) oder gibt es Irritationen(vorher)?

Schritt 4:
In diesem recht übersichtlichen + (rechtwinkligen) 3-Eck ( $\begin{eqnarray*} \lambda b + n = a \end{eqnarray*}$ ) erkenne ich gem. COSINUS-Def. " $\begin{eqnarray*} \cos \gamma = \cos \angle (a,b) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}} \end{eqnarray*}$ " den Zusammenhang: $\begin{eqnarray*} \cos \gamma = \frac{\lambda \mid b \mid}{\mid a \mid} \end{eqnarray*}$ UND...

Schritt 5:
...baue (3) und (4) zusammen...
a*b = $\begin{eqnarray*} = \lambda \mid b \mid^2 = \mid a \mid \mid b \mid \cos \gamma \end{eqnarray*}$

Schritt 6:
Du wolltest doch diesen Cosinus-Satz... und stellst fest:
$\begin{eqnarray*} c^2 = (a-b)*(a-b) = \mid a \mid^2 + \mid b \mid^2 - 2 (a*b) \end{eqnarray*}$ und Du setzt den länglich hergeleiteten (5) ein UND *piff paff* es erscheint:

Endresultat
$\begin{eqnarray*} c^2 = \mid a \mid^2 + \mid b \mid^2 - 2 (a*b) = \mid a \mid^2 + \mid b \mid^2 - 2 \mid a \mid \mid b \mid \cos \gamma \end{eqnarray*}$ kürzer bekannt (weil nur Längen "bekuckt" werden):
$\begin{eqnarray*} c^2 = a^2 + b^2 - a b \cdot \cos \gamma \end{eqnarray*}$

Wink

-Ace-
____________________

P.S.: Tipp... Ggfs. weniger Fisch essen oder NIE mehr was herleiten...

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