Diophantische Gleichung

22.06.2008, 00:08	Hama	Auf diesen Beitrag antworten »
Diophantische Gleichung Hi! Ich komme mit einer Aufgabe nicht weiter. Und zwar soll man zeigen, dass genau jede Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \neq 163 \end{eqnarray}$ und für die ein $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} a^2 \equiv p \mod 163 \end{eqnarray}$ (also p ist quadr. Rest mod 163) eine Darstellung $\begin{eqnarray} p = x^2 + xy + 41y^2 \end{eqnarray}$ existiert. Wenn man y=1 setzt hat man ja das Euler-Polynom (das lauter Primzahlen liefert für ganze Zahlen x zwischen 0 und 39). Kann man das hier verwenden?
22.06.2008, 10:55	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Fur die eine der beiden Beweisrichtungen sollte noch die Darstellung $\begin{eqnarray} 4p = 4x^2 + 4xy + 164y^2 = (2x+y)^2 + 163y^2 \end{eqnarray}$ nützlich sein. Die andere Richtung scheint aufwändiger zu sein - ob bzw. inwieweit da deine Übrlegung was nützt, kann ich im Moment noch nicht beurteilen.
23.06.2008, 00:36	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Arthur Dents Überlegung ist hier recht nützlich, insofern, dass es genügt, nach der Darstellbarkeit in der Form X² + 163Y² zu fragen. Das lässt sich über $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt{-163}] \end{eqnarray}$ faktorisieren, welches ein faktorieller Ring ist. Es muss also lediglich gezeigt werden - wenn p die Anforderungen in der Aufgabe erfüllt, dann gibt es ein Element a in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt{-163}] \end{eqnarray}$ mit der Norm N(a) = p. Dafür genügt es zu beweisen, dass p kein Primideal in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt{-163}] \end{eqnarray}$ erzeugt. Dann zerfällt nämlich p wegen N(p) = p² in Faktoren a, b mit N(a) = p und N(b) = p. Es gibt noch einen wesentlichen "Trick", den du hier benötigst, allerdings möchte ich dir hier auch nicht die ganze Aufgabe weglösen (kleiner Tipp - Erweiterungen endlicher Körper) Gruß, Carsten
23.06.2008, 18:40	Piere	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal als Zwischenfrage - weil wir gerade auch diophantische Gleichungen behandeln: Ich stehe wohl auf der Leitung, aber warum genügt es, Darstellungen der Form X² + 163Y² zu betrachten? Was ist mit der 4 vor dem p?
23.06.2008, 23:08	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist dadurch zu erklären, dass wir im Grunde nur die Darstellbarkeit von p durch X² + 163Y² benötigen, um zunächst die Darstellbarkeit von 4p durch selbige Form und somit die Darstellbarkeit von p durch X² + XY + 41Y² folgern zu können. Andernfalls macht der Terml p = X² + XY + 41Y² diverse Probleme, da er sonst nicht gescheit auf die "einfachere" Form X² + 163Y² zurückgeführt werden kann (die wir ja elementar in Angriff nehmen können). Daher die Multiplikation mit 4. Gruß, Carsten EDIT: Kleine Ungenauigkeiten gefüllt

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