Kugel

23.03.2006, 21:44	Denise	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel Hallo!hab eine frage zum folgenden beispiel Die Punkte A, B und C liegen auf einer Kugel. Der Mittelpunkt M liegt in der Ebene, die D enthält und zu der durch die Punkte A, B und C bestimmte Ebene parallel ist. Ermittle die Kugelgleichung und den Abstand der Geraden AB und DM! A( 7/2/2) B(1/4/2) C(-1/-4/0) D(4/4/-1) Das Problem ist die Skizze. Ich glaub, das Rechnen ist dann nicht so schwierig! Vielen, vielen Dank an euch!
23.03.2006, 22:13	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
kann leider keine skizzen so toll machen wie wernerrin. aber mal doch einfach eine kugel, mit drei punkten drauf. dann eine ebene durch die drei punkte. dann mal m in die mitte der kugel und eine ebene die m und d enthält und parallel zu der bereits skizzierten ist. wie würdest du denn anfangen zu rechnen?
23.03.2006, 22:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Hnweise: 1. M liegt auf einer Geraden, die senkrecht zur Ebene von ABC steht und durch den Umkreismittelpunkt U vom Dreieck ABC verläuft. 2. Der Abstand der beiden hoffentlich windschiefen Geraden entspricht dem Abstand der beiden in der Aufgabenstellung genannten Ebenen, das ist $\begin{eqnarray} \overline{MU} \end{eqnarray}$ .
23.03.2006, 22:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch ein 3×3-LGS lösen, bestehend aus den Koordinatengleichungen der Mittelebene von $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ der Mittelebene von $\begin{eqnarray} AC \end{eqnarray}$ der Ebene, die $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ enthält und denselben Normalenvektor wie $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ besitzt Unter der Mittelebene einer Strecke verstehe ich die Ebene, die orthogonal zur Strecke ist und diese halbiert.
23.03.2006, 22:51	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
kurze Zwischenfrage: @Leopold: Wie machst du so schöne Bildchen? aRo
23.03.2006, 22:58	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
danke aro, aber ob bei dieser aufgabe wirklich die skizze das maß aller dinge ist? ich habe halt ein bilderl mit dem wesentlichen und einer möglichen lösung dazu. werner
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29.04.2006, 10:02	Denise	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel Könnte mir jemand sagen, ob meien Vorgehensweise zu diesem beispiel richtig ist? Also ich stell zuerst die ebene ABC auf, und dann stellel ich die gerade : X= D+ t.( normalverktor der ebene) mir kommt immer das Falsche heraus, bin schon ziemlich verzweifelt, weil es eigentlich nicht so schwer sein sollte und ich kurz vor dem abi steh!
29.04.2006, 10:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst du mit dieser Geraden anfangen? Schau in die Zeichnung aus meinem ersten Beitrag. Da siehst du, daß die für die Lösung der Aufgabe überhaupt keine Relevanz hat. Vielleicht machst du dir die Situation am zweidimensionalen Analogon klar: Wenn du eine Kreissehne hast, so muß der Kreismittelpunkt auf der Symmetrieachse dieser Kreissehne (also ihrer Mittelsenkrechten) liegen. Und ebenso muß hier im Raum bei einer Kugelsehne der Kugelmittelpunkt auf der Symmetrieebene der Sehne liegen. Wie schon gesagt, mußt du nur ein LGS vom Typ 3×3 lösen. Alternativ kannst du auch Arthurs Vorschlag folgen. Symmetrieebene von $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray}$ Symmetrieebene von $\begin{eqnarray} AC \end{eqnarray}$ (alternativ geht es auch mit der Symmetrieebene von $\begin{eqnarray} BC \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray}$ Ebene parallel zur Ebene $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -13 \end{pmatrix} \cdot \left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray}$ Hierbei wurde der Normalenvektor durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -13 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bestimmt. Das LGS $\begin{eqnarray} \begin{matrix} 3 x_1 & - & x_2 & & & = & 9 \\ 4 x_1 & + & 3 x_2 & + & x_3 & = & 10 \\ x_1 & + & 3 x_2 & - & 13 x_3 & = & 29 \end{matrix} \end{eqnarray}$ hat die Lösung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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